Un toro se genera como superficie de revolución, haciendo girar, alrededor de un eje, una circunferencia que está separada de él una distancia mayor que su radio.[br][br]Denominamos superficie cíclica, a las generadas por una familia de circunferencias cuyos centros están situados sobre una curva, y las circunferencias yacen en el plano perpendicular a la curva en el punto. [br][br]En el caso del toro, las circunferencias se desplazan alrededor de otra circunferencia, y el radio es constante.[br][br]Tomando el radio de esas circunferencias variable, obtenemos toda una familia de superficies cíclicas formadas por circunferencias de radio variable cuya línea de centros es, a su vez, una circunferencia.[br][br]Para dar las ecuaciones, partiremos de la ecuaciones del toro, con centros separados una distancia [i]d[/i] del [i]eje z[/i], pero tomando un radio [i]r(u)[/i] variable.[br]Una modelización de estas superficies cíclicas en ecuaciones paramétricas cartesianas sería[br][center][math][br]\left\{[br]\begin{array}{rll}[br]x=& \left(r(u)cos(v)+d\right)cos(u)[br]\\[br]y=& \left(r(u)cos(v)+d\right)sen(u), [br]\\[br]z=&\phantom{(}r(u)sen(v)[br]\end{array}[br]\right.,\text{ para }{{0\leq v< 2\pi}\atop{0\leq u<2\pi\cdot n.}}[br][/math][/center][list][*]Los factores [i]cos(u)[/i] y [i]sen(u)[/i] que aparecen en las expresiones para [i]x[/i] e [i]y[/i], son los utilizados para girar alrededor del [i]eje z[/i].[/*][*]Mientras giramos, construimos las circunferencias de radio [i]r(u)[/i] correspondientes a cada ángulo girado [i]u[/i], usando la componente [i]z[/i]. Para ello, incluimos el factor[i] r(u)·sen(v)[/i] en esa componente [i]z[/i].[/*][*]Podemos hacer que los radios ondulen n veces entre dos valores, conforme giramos alrededor del eje, con una función del tipo[br][center][math]r(u)=A\cdot \left(1-p\cdot cos(n\cdot u)\right),[/math][/center][br]donde p se interpreta como un porcentaje. Ajustando [math]A=\frac{R_{max}+R_{min}}{2},\,p=\frac{R_{max}-R_{min}}{R_{max}+R_{min}}[/math], oscilarán entre los números [math]R_{max}\text{ y }R_{min}[/math] .[br][size=85](*) Podemos generalizar admitiendo [math]R_{min}[/math] negativos, lo cual hará que [math]p[/math] sea superior al 100% y aparecezcan unos bucles extra de radio precisamente ese exceso sobre el 100%.[/size][br][/*][/list]El resultado sería el siguiente:

[list][*]Seleccionar "Opciones" para modificar la superficie. También se mostrará el eje de giro.[/*][*]Moviendo los puntos azules, podemos modificar el radio de la circunferencia de centros, el radio máximo y el radio mínimo.[/*][*]Podemos establecer el número de bucles que harán las circunferencias. Se admiten números decimales. Por ejemplo, 1.5.[/*][*]Hemos denominado "cinturones" a las circunferencias de radio máximo y mínimo de la superficie cíclica.[br][/*][/list]

Podemos modificar la construcción anterior para que la línea de centros sea una hélice circular, de cierto paso [math]2\pi\cdot c[/math], entre cada vuelta. Las circunferencias se construirán de forma similar al caso anterior, pero teniendo en cuenta que, en cada punto, deben estar en el plano perpendicular a la hélice.[br]Las ecuaciones de la hélice serán[br][center][math]h(u)=\left\{\begin{array}{rl}[br]x=&d\cdot cos(u)\\[br]y=&d\cdot sen(u)\\[br]z=&c\cdot u[br]\end{array}\right.[/math][/center][br]Derivando, obtenemos que un vector tangente es [math]\vec{v_1}=(-d\cdot sen(u),d\cdot cos(u),c)[/math], cuyo módulo es [math]s:=\sqrt{d^2+c^2}[/math].[br]Podemos ampliar a una base ortogonal del plano tangente, tomando los vectores[br][size=85](*) Para más información sobre cómo construir una hélice tubular, consultar [url=https://www.geogebra.org/m/w5h4bmvy]este applet[/url].[/size] [br][br][center][math]\left\{\begin{array}{rrrlc}[br]\vec{v_1}:=&(-d\cdot sen(u),& d\cdot cos(u),& c\phantom{/c})\\[br]\vec{v_2}:=&(cos(u),& sen(u),& 0\phantom{/c})\\ [br]\vec{v_3}:=&(sen(u),& -cos(u),& d/c)[br]\end{array}\right.[/math][/center][br]El módulo de [math]\vec{v_3}[/math] resulta [math]\left|\vec{v_3}\right|=\sqrt{1+\frac{d^2}{c^2}}=\frac{s}{c}[/math].[br][br]Por tanto, la ecuación de las circunferencias vendrá dada por[br][center][math]superficie(u,v)=\bold{h}(u)+r(u)\cdot\left(cos(v)\cdot \bold\vec{v_2}(u)+\frac{c}{s}\cdot sen(v)\cdot\bold\vec{v_3}(u)\right)[/math], para [math]0\leq v<2\pi[/math].[/center][br]que, finalmente, en coordenadas resulta:[br][center][math]superficie(u,v)=\left\{\begin{array}{rll}[br]x=&d\cdot cos(u)&+r(u)\cdot\left(cos(v)cos(u)+\frac{c}{s}sen(v)sen(u)\right)\\[br]y=&d\cdot sen(u)&+r(u)\cdot\left(cos(v)sen(u)-\frac{c}{s}sen(v)cos(u)\right)\\[br]z=&c\cdot u&+r(u)\cdot\frac{d}{s}sen(v)[br]\end{array}\right.[/math][/center][br]Podemos transformar la parametrización de las circunferencias para que u, v resulten coordenadas ortogonales. En este caso, puede comprobarse que bastaría tomar [i]u'=-u, v'=v+cu/s[/i].

[list][*]Moviendo los puntos azules, podemos modificar el radio de la circunferencia de centros, el radio máximo y el radio mínimo.[/*][*]El punto rojo permite establecer el paso entre una vuelta y otra.[/*][*]El punto naranja sirve para desplazar la figura verticalmente.[br][/*][*]Podemos establecer el número de bucles que harán las circunferencias. Se admiten números decimales. Por ejemplo, 2.5.[/*][*]Hemos denominado "cinturones" a las circunferencias de radio máximo y mínimo de la superficie cíclica.[br][/*][/list]

[size=85][right](*) Construcciones adaptadas de S.N. Krivoshapko y V.N. Ivanov. Encyclopedia of[br] analytical surfaces (pág 376-378). Springer International Publishing Switzerland, 2015.[/right][/size][br]