... amelyen igyekszünk rendre bemutatni, hogy a középiskolai elemi geometriának a fenti címhez tartozó fogalmai, összefüggései miként tükröződnek ebben a szokásostól sok mindenben eltérő rendszerben. Továbbra is a [u]három csúcs[/u]ból és a [u]három oldalegyenes[/u]ből álló geometria alakzatot tekintsük háromszögnek.[br] [br]Korábban megismerkedhettünk az E-pont polárisának és az E-egyenes pólusának a fogalmával.[br]Az alábbi szerkesztésekben gyakran lesz szükségünk az E-háromszög [i]poláris háromszög[/i]ére. [br][br]Az ABCΔ csúcsainak a polárisait képezve kapjuk az ABCΔ poláris háromszögének - P[color=#333333][sub]ABC[/sub]Δ[/color] -nek - az oldalegyeneseit, oldalegyeneseinek a pólusaiként kapjuk a P[sub]ABC[/sub][color=#333333]Δ csúcsait. A háromszög és polárisa közötti kapcsolat szimmetrikus: egy háromszög polárisának a polárisa az eredeti háromszög.[br]Egy k[/color][i]vadrát háromszög[/i][color=#333333] - amelynek az oldalai és szögei is derékszögek - egybeesik a poláris háromszögével. Ez így is megfogalmazható:[br][list][*][color=#980000][b]Egy E-háromszög akkor és csak akkor[i] kvadrátháromszög,[/i] ha [i]egybeesik a poláris háromszögével.[br][/i][/b][/color][/*][/list][/color][color=#333333][br]Az alábbi applet minden lépésében egy [/color][i]kvadrát háromszög[/i]ből indulunk ki. Az ehhez vezető "fogásról" [url=https://www.geogebra.org/m/pX7a97q5#material/mpfhgw4g]itt olvashatnak[/url] a technikai részletek iránt érdeklődő olvasóink.[br][br]Az applet felhasználóinak természetesen meg van a lehetőségük arra, hogy az [b][color=#ff0000]A[/color], [color=#6aa84f]B[/color], [color=#0000ff]C[/color][/b] pontok mozgatásával többféle általános helyzetet vizsgáljanak meg, és a megjelenő jelölőnégyzetek ([b][color=#0000ff]√[/color][/b]) ki-be kapcsolásával figyeljék meg alaposan az egyes geometriai objektumok közötti kapcsolatot.[br][br]Előrebocsájtjuk, hogy az applet alapos vizsgálatához olykor hosszabb szöveges elemzés tartozik. A szöveg és az applet együttes tanulmányozása érdekében a szöveg az anyag végén pdf fájl formájában is hozzáférhető.

Kezdjük a vizsgálódást a kvadrát háromszöggel. Ennek bármely csúcsára illeszkedő E-egyenes merőleges a háromszög szemközti oldalára, ezért nincs egyértelműen meghatározható magasság-egyenese és magasságpontja sem. Ugyanezt mondhatjuk azokról az egyenlő szárú E-háromszögekről is, amelyeknek az alapon fekvő szögeik derékszögek. Bár ... ez definíció kérdése.[br][br]Fogadjuk el a magasságpont definíciójaként az alábbi meghatározást:[br][list][*]Az ABCΔ [i] magasságpont[/i]jának nevezzük azt az [i]M[/i] pontot, amelyből a háromszög mindhárom oldalegyenesére merőlegest állítva a kapott egyenesek illeszkednek az oldalegyenesekre nem illeszkedő csúcsokra.[/*][/list]Ez a meghatározás megfelelő az euklideszi sík bármely háromszögére, így a derékszögűre is: [br][list][*][color=#0000ff][i]Az euklideszi sík[u] minden[/u] háromszögének pontosan egy magasságpontja van; [/i][/color][/*][*][color=#0000ff] [/color][color=#ff0000]A hiperbolikus síkon [u]vannak olyan[/u] háromszögek amelyeknek [u]nincs[/u] magasságpontjuk;[/color][/*][*][i][color=#980000]Az elliptikus sík[u] minden[/u] háromszögének [u]pontosan egy [/u]magasságpontja van, [b]kivéve azt a háromszöget, amelynek legalább két derékszöge van. A kvadrát háromszögnek [u]a sík minden pontja[/u] magasságpontja. [/b][/color][/i][/*][/list]Mi a magasságpontok mértani helye, ha a háromszögnek [u]pontosan két [/u] derékszöge van? A választ olvasóinkra bízzuk.[br][br]Egy általános háromszög magasságegyenese illeszkedik nem csak a háromszög egyik csúcsára, hanem a szemközti oldal pólusára is, mivel egy adott egyenesre merőleges egyenesek illeszkednek az egyenes pólusára. Ezért pl, az (A,P_a) egyenes egyben az ABCΔ -nek az A csúcsához, a P[color=#333333][sub]ABC[/sub]Δ[/color] -nek a P_a csúcsához tartozó magasság-egyenese. Ezt használtuk ki a megszerkesztéséhez.[br]Ez azt is jelenti, hogy [u]mind a négy E-háromszöglaphoz[/u] és polárisaikhoz is ugyanaz a három magasság-egyenes, és ugyanaz az [b]M[/b] magasságpont tartozik. [br][br]([b][color=#0000ff]√[/color][/b][color=#333333]ABCΔ[/color]) ([b][color=#0000ff]√[/color][/b]Magasságok)[br]Az általános háromszög három csúcsa és a magasságpont itt is - [url=https://www.geogebra.org/m/fgse9tb6]épp úgy mint itt [/url] (1.app)- un. [i][url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Ortocentrikus_pontn%C3%A9gyes]ortocentrikus pontnégyest[/url][/i] alkot: bármely három pontját egy háromszögnek tekintve a negyedik lesz a háromszög magasságpontja. [br][br]([b][color=#0000ff]√[/color][/b][color=#333333]ABCΔ[/color]), ([b][color=#0000ff]√[/color][/b]Magasságok), ([b][color=#0000ff]√[/color][/b]P[color=#333333][sub]ABC[/sub]Δ[/color])[br] Az is figyelemreméltó, hogy az általános ABCΔ és a P[color=#333333][sub]ABC[/sub]Δ eg[/color]ymásnak megfelelő oldalainak a metszéspontjai egy E-egyenesre illeszkednek, amely az M pont polárisa. Így azt mondhatjuk, hogy a kapott alakzat egy speciális helyzetű [url=https://www.geogebra.org/m/nrvbvefm]Desarques alakzat[/url] (2.app.) , amelynek egyenesei az ABCΔ és a P[color=#333333][sub]ABC[/sub]Δ oldalegyenesei, és ezek - közös - magasságegyenesei - azaz 3+3+4 E-egyenes- alkotja a Desaqrques alakzat tíz egyenesét, és ezek pólusai lesznek az alakzat [/color]pontjai.

A fenti címben mindenütt többes szám szerepel. Hamarosan kiderül, hogy miért.[br]Korábban láttuk, hogy az E-sík bármely két pontjához két tükörpont (szakasz felező pont) tartozik, amelyekre vonatkozó centrális tükrözés a két pontot egymásba viszi át. Mivel három E-pont három E-egyenest, (hat E-szakaszt) így hat felezőpontot határoz meg. [br][br]([b][color=#0000ff]√[/color][/b][color=#333333]ABCΔ[/color]) , ([b][color=#0000ff]√F[/color][/b]elezőpontok), ([color=#0000ff]√K[/color][color=#333333]özépvonalak)[br][/color]Ha középvonalaknak e felezőpontokra illeszkedő E-egyeneseket tekintjük, azonnal látszik, hogy a hat pont csak négy középvonalat határoz meg: mindegyikre három felezőpont illeszkedik.[br][br]([b][color=#0000ff]√[/color][/b][color=#333333]ABCΔ[/color]), ([b][color=#0000ff]√[/color][/b]Súlyvonalak), ([color=#0000ff]√[/color][color=#333333]Súlypontok)[/color][br][color=#333333][url=https://www.geogebra.org/m/NSQ9meGe#material/RGpQt8zC]Épp úgy mint az abszolút geometriában,[/url] itt is teljesül, hogy:[br][/color][list][*][color=#980000][b]A háromszög[u]lapok[/u] súlyvonalai egy pontra, a háromszöglap súlypontjára illeszkednek.[/b][/color][/*][/list][color=#333333]Összetett (nyitott?) kérdésnek tűnik a fenti állítás igazolása, ugyanis euklideszi geometriában ez a hasonlóság felhasználásával könnyen belátható, de a hasonlóság fogalma sem az elliptikus, sem a hiperbolikus geometriában nem létező fogalom.[br]I[/color][url=https://www.geogebra.org/m/xa9gzw7e#material/rxmkz4dz]tt volt szó arról[/url][color=#333333], hogy miként lehet az E-háromszöglapok megkülönböztetésére használni a háromszög két oldalának egy-egy kijelölt pontját. Ez a kijelölt pont lehet egy-egy felezőpont is, így a háromszöglap egyértelmű megadásához használhatók a háromszöglapok súlypontjai is. [br][/color][color=#333333][br]Az [/color][b][color=#ff0000]A,[/color][/b][b][color=#38761d]B,[/color][/b][b][color=#0000ff]C[/color][/b][color=#333333] pontokkal megadott négy háromszöglapot jelöljük meg a súlypontja színével: legyen[/color][color=#e69138]sárga[/color][color=#333333]az, amelynek nincs közös pontja a modell alapkörével, továbbá rendre [/color][b][color=#ff0000]piros,[/color][color=#38761d] zöld[/color][/b][color=#333333] és[/color][color=#0000ff] [b]kék [/b][/color][color=#333333]az, amelyet az háromszög ugyanilyen színű oldala választ el a sárgától. Figyeljük meg, hogy az [b][color=#ff0000]A, [/color][/b][b][color=#38761d]B, [/color][/b][b][color=#0000ff]C[/color][/b][color=#333333] pontok [/color]mozgatása közben ez az azonosítás érvényben marad.[br][br][/color][b]([b][color=#0000ff]√[/color][/b][/b][color=#333333]ABCΔ[/color]) , ([b][color=#0000ff]√[/color][/b]Súlyvonalak)[br]Az ABCΔ [u]kvadrátháromszög[/u] súlyvonalai, egyben szakaszfelező merőlegesek (és magasságegyenesek) is, tehát a háromszög tükörtengelyi lesznek. Így a háromszög oldalegyenesei és súlyvonalai együtt az E-síkot 4*6 =24 olyan egybevágó háromszögre bontják, amelynek a szögei 45°, 60°és 90°. Később lesz szó arról, hogy miként lehet még kiparkettázni az E-síkot egybevágó háromszögekkel. [br][br]Ha az ABCΔ általános, akkor az oldalegyenesei és súlyvonalai által kapott 24 derékszögű háromszöglap természetesen nem lesz egybevágó, de együtt ugyancsak lefedik a síkot.

Addig, amíg az abszolut geometriában [url=https://www.geogebra.org/m/NSQ9meGe#material/RGpQt8zC]három pontra legfeljebb egy kör illeszkedik[/url], hamarosan látni fogjuk, hogy a fenti címben ugyancsak indokolt a többes szám.[br] Mivel egy adott E-egyenesre merőleges egyenesek egy pontra - az egyenes pólusára - illeszkednek, a szakaszfelező merőlegesek megszerkesztéséhez a szakaszok felezőpontjai mellett szükségünk lesz az [i]ABCΔ[/i] poláris háromszögének a [i]P_a, P_b, P_c[/i] csúcsaira. [br][br]([b][color=#0000ff]√[/color][/b][color=#333333]ABCΔ[/color]), ([b][color=#0000ff]√[/color][/b]Felező-merőlegesek), ([b][color=#0000ff]√[/color][/b]P[color=#333333][sub]ABC[/sub]Δ[/color])[br]Az [i]ABCΔ [/i]oldalfelező merőlegesei az oldalak felezőpontjaira és az oldalegyenesek pólusira illeszkednek. [br][br]([b][color=#0000ff]√[/color][/b]Felező-merőlegesek), ([b][color=#0000ff]√[/color][/b]Köréírt kör kp.)[br]Figyeljük meg, hogy négy olyan pont van, amelyre az így kapott hat egyenes közül három-három illeszkedik. Ez a négy pont ugyancsak ortocentrikus pontnégyest alkot: a hat szakaszfelező merőleges közül bármely kettőt kiválasztva vagy merőlegesen metszik egymást, vagy illeszkedik a metszéspontjukra egy harmadik egyenes is.[br][br]([b][color=#0000ff]√[/color][/b][color=#333333]ABCΔ[/color]), ([b][color=#0000ff]√[/color][/b]Köréírt kör kp.) +csúszka 0,...4[br]Összegezve: az E-sík három adott pontjára négy olyan kör illeszkedik, amelyek középpontjai rendre megszerkesztve - egy csúszkával vezérelve - egyenként megjelenítettük a négy körülírt kört is.

[url=https://www.geogebra.org/m/xa9gzw7e#material/eesmd7tu]Itt ( 2. app. 4. lépés)[/url] már találkoztunk azzal az egyenlő szárú háromszöggel, amelynek van [u]két[/u] derékszöge.[br]Ennek a tulajdonságait kihasználva szerkeszthetjük meg egy E-háromszög szögfelező egyeneseit.[br]Pl. az [b]A[/b] csúcshoz tartozó szögfelezők illeszkednek az [b]A[/b] csúcs polárisán lévő [b]P_b[/b] ,[b] P_c[/b] szakaszok felezőpontjaira.[br][br]([b][color=#0000ff]√[/color][/b][color=#333333]ABCΔ[/color]), ([b][color=#0000ff]√[/color][/b]P[color=#333333][sub]ABC[/sub]Δ[/color]), majd: ([b][color=#0000ff]√[/color][/b]Szögfelezők)[br]Vegyük észre, hogy az [u]ABCΔ[/u] poláris háromszögének - a [i]P[/i][color=#333333][i][sub]ABC[/sub]Δ [/i]-nek - [/color] a szakaszfelező merőleges egyenesei lesznek egyben az ABCΔ szögfelezői.[br][br]Korábban láttuk, hogy a egy E-háromszög köré írt köreinek a középpontjai ortocentrikus pontnégyest alkotnak .Így a négy beírt kör középpontjai - amelyek mindegyikére három szögfelező illeszkedik - ugyancsak ortocentrikus pontnégyest alkotnak.[br][br]([b][color=#0000ff]√[/color][/b][color=#333333]ABCΔ[/color]), ([b][color=#0000ff]√[/color][/b]Szögfelezők.)[br]Ugyanakkor - éppúgy, mint ahogy az euklideszi geometriában a háromszöglap külső- és belső szögfelezői - az ABCΔ egy-egy csúcsára illeszkedő szögfelezők is merőlegesek egymásra. Csak itt értelmét veszti a"belső", és "külső" megkülönböztetés. Sőt, ebben az anyagban nem is használtuk a háromszög[u]lap[/u] fogalmát.[br][br][br]