Mehrfache Nullstellen

Vom Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion lässt sich nur das Verhalten des Graphens für sehr große x-Werte ablesen. [br][br]

Beschreibe das Verhalten des Graphen im Unendlichen. [br][math]f\left(x\right)=-3x^7+5x^5-x^4+100x^2-5050[/math]

Der Graph verläuft "von links oben nach rechts oben". Der Graph verläuft "von links unten nach rechts oben". Der Graph verläuft "von links oben nach rechts unten". Der Graph verläuft "von links unten nach rechts unten".

Nur der Leitkoeffizient (Koeffizient der Potenz mit dem größten Exponenten) sowie der größte Exponent ist wichtig. Folglich muss man hier nur wissen, wie der Graph der Potenzfunktion g mit [math]g\left(x\right)=-3x^7[/math] aussieht.

Ausnutzen der Nullstellen

Ein wesentliches Merkmal jedes Graphen sind die Nullstellen. Kennt man diese kann man den Funktionsterm in die "Nullstellenform" bringen. [br][br]z.B. bei quadratischen Funktionen: [math]f\left(x\right)=2x^2+6x+4=2\left(x+2\right)\left(x+1\right)[/math][br]oder bei Grad 7: [math]g\left(x\right)=-2x^7-10x^6+72x^5+96x^4-96x^3-96x^2-256x-128=-2\left(x-2\right)^2\left(x+2\right)^4\left(x+1\right)[/math][br][br]Gib jeweils die Nullstellen an.

f: [math]x_1=2;[/math] [math]x_2=3[/math] g: [math]x_1=2;[/math] [math]x_2=-2[/math] [math]x_3=1[/math] f: [math]x_1=-2;[/math] [math]x_2=-1[/math] g: [math]x_1=2;[/math] [math]x_2=-2[/math] [math]x_3=-1[/math][br]

Erklärung:

Liegt der Funktionsterm in der faktorisierten Form vor, genügt, es die einzelnen Faktoren (-> Klammern) zu untersuchen. Denn ist einer der Faktoren Null, so ist auch das gesamte Produkt Null.

Einfluss der Exponenten in der Nullstellenform

Untersuche nun, welchen Einfluss der Exponent auf die jeweilige Nullstelle hat. Verschiebe dazu die Schieberegler.

Es lassen sich zwei Verläufe unterscheiden.

rechts: ungerader Exponent rechts: gerader Exponent links: gerader Exponent links: ungerader Exponent

Beim Exponenten der jeweiligen Nullstlle spricht man auch von der Vielfachheit der Nullstelle. [br][br]Bsp: [math]f\left(x\right)=0,5\left(x-7\right)^3\left(x-3\right)^8[/math][br]Hier hätte die Nullstelle [math]x_1=3[/math] die Vielfachheit 8 und die Nullstelle [math]x_2=7[/math] die Vielfachheit 3.

Die Erklärung des Verhaltens ist recht simpel. Betrachtet man nur die Umgebung der Nullstelle, ist der Einfluss des entsprechenden Faktors in der Nullstellenform am größten. [br][br]Bsp: [math]f\left(x\right)=0,8\cdot\left(x-3\right)^4\left(x+5\right)^3[/math][br][br]Betrachten wir hier nur die Umgebung um [math]x=3[/math] hat der Term [math]\left(x-3\right)^4[/math] den größten Einfluss. Das heißt, bei dieser Nullstelle verhält sich der Graph wie der einer Potenzfunktion vom Grad 4. Mit diesem Vorgehen lässt sich der gesamte Graphenverlauf zusammenbauen.

Graphen skizzieren

Mit diesem Wissen können wir nun den Graphen einer ganzrationalen Funktion schon genauer zeichnen.

Hefteintrag

Übernimm nun den Hefteintrag. Skizziere dabei den Verlauf des Graphen unter Beachtung des Verhaltens im Unendlichen und um die Nullstellen. [br][br]Wichtig: Den genauen Verlauf können wir so natürlich nicht zeichnen.