GeoGebra Institute of Jelgava, Dec 20, 2015

Interaktīvi materiāli matemātikā 10. klasei

Skolēns savā ikdienas pieredzē jau ir saskāries ar situācijām, kuras raksturo vektoriāli lielumi. Lai raksturotu, piemēram, spēku, ātrumu, ārvietojumu, ir jāzina ne tikai šo lielumu skaitliskās vērtības, bet arī darbības virziens. Rodas nepieciešamība ieviest vektora jēdzienu. Šajā tematā skolēns apgūs galvenos jēdzienus un prasmes darbā ar vektoriem. Par vektoriem, kā instrumentu matemātisku uzdevumu risināšanai, nedaudz tiks runāts tematā “Leņķa jēdziens, trijstūri”. Vektora un ar to saistīto jēdzienu izpratne un lietošana nepieciešama turpmākai fizikas apguvei. Fizikā svarīgs ir vektora projekcijas jēdziens, ko definē kā skaitli, kas ir vektora moduļa un leņķa starp asi un vektoru kosinusa reizinājums (pagaidām skolēniem zināms tikai kosinuss šauram leņķim). Nepieciešams akcentēt atšķirību starp jēdzieniem vektora projekcija (skaitlis) un vektora ģeometriskā projekcija (vektors). Tāpat arī jārunā par ģeometrisko projekciju, jo plašākā nozīmē jēdziens projekcija skolēnam asociējas ar ģeometrisku objektu. Temata apguvē būtiskākās prasības ir jēdzienu izpratne, prasme atlikt vektoru no dotā punkta, izpildīt darbības ar vektoriem ģeometriskā un koordinātu formā, lietot vektorus, raksturojot reālus procesus. Svarīgi ir veidot skolēna praktiskā un pētnieciskā darba iemaņas – apguvis galvenos jēdzienus un darbības ar vektoriem ģeometriskā formā, pie nepieciešamajām sakarībām darbību izpildei ar vektoriem koordinātu formā skolēns var nonākt patstāvīgi. Lai nostiprinātu prasmes izpildīt darbības ar vektoriem, ieteicams izmantot šajā tematā piedāvātos vizuālos materiālus elektroniskā formā. /DZMIC materiāli/

• 1. Vektori kubā

Mūsu dzīvi ietekmē daudz dažādu mainīgu procesu – gan sociāli, gan vides, gan tehnoloģiski procesi. Lai šos mainīgos procesus izprastu, ir jāmācās saskatīt funkcionālās sakarības apkārtējā vidē un analizēt tās. Daļu no šiem procesiem var pētīt un aprakstīt ar lineārām funkcijām, kvadrātfunkcijām un pakāpes funkcijām. Skolēniem funkcijas jēdziens ir zināms jau no pamatskolas. Šajā tematā tiek akcentēta funkcijas uzdošana, saistot to ar definīcijas un vērtību apgabalu izpratni, tai skaitā tām funkcijām, kas ir reālu procesu modeļi. Funkcija ir uzdota, ja zināms piekārtojuma likums, doti definīcijas un vērtību apgabali. Tādēļ netiek doti uzdevumi, kas prasa noteikt definīcijas apgabalu analītiski uzdotām funkcijām. Ja uzdevumā aprakstīts reāls process vai situācija, tad skolēns nosaka, vai starp lielumiem pastāv funkcionāla sakarība, un, ja tas ir iespējams, nosaka funkcijas analītisko izteiksmi un definīcijas apgabalu. Ja uzdodot funkciju analītiski (ar formulu), nav norādīts funkcijas definīcijas apgabals, tiek uzskatīts, ka tas ir maksimāli iespējamais – sakrīt ar atbilstošās izteiksmes definīcijas apgabalu. Tematā tiek aplūkota lineāras, pakāpes un kvadrātfunkcijas. Priekšstats par lineārajām un kvadrātfunkcijām skolēniem jau ir, pakāpes funkcija aplūkojama ar veselu kāpinātāju. Tiek ieviesti jēdzieni: taisnes virziena koeficients, argumenta pieaugums un funkcijas pieaugums. Tie lietojami, raksturojot funkcijas, kā arī apgūstot fiziku un ekonomiku. Būtiska ir ne tikai prasme pāriet no viena funkcijas uzdošanas veida uz citu, ko skolēni jau ir apguvuši pamatskolā, bet arī mācīšanās izvērtēt katrai situācijai piemērotāko. Konstruējot funkciju grafikus, tiek veidota prasme mērķtiecīgi izvēlēties vienības nogriežņus uz koordinātu asīm, kas var būt arī dažādi, un savlaicīgi prognozēt grafika novietojumu koordinātu plaknē. Temata ietvaros skolēnus rosina izmantot tehnoloģiju iespējas. Apgūstot tematu, skolēni pilnveido prasmi saskatīt funkciju kopīgās un atšķirīgās īpašības, saistīt tās ar grafiku konstruēšanu un pētīšanu, tai skaitā, parametru ietekmi uz funkcijas grafiku. Koeficientu ietekmi skolēni saskata, formulē, pamato, izpētot pietiekami daudz funkciju grafikus, nav nepieciešams grafiku pārbīdes un transformācijas iegaumēt kā pašmērķi. Paritāte, kā pakāpes funkcijām raksturīga īpašība, tiek apgūta, pētot dažādu pakāpes funkciju grafikus, klasificējot pakāpes funkcijas pēc saskatītajām īpašībām. /DZMIC materiāli/

• 1. Pakāpes funkcija

Jebkuras zinātnes izklāstam ir būtiska prasība pēc noteiktības (skaidrības, precizitātes) jēdzienos, kuri tiek izmantoti – ieviešot kādu terminu, kas izsaka jaunu, agrāk neaplūkotu jēdzienu, jānodrošina pareiza termina izpratne, terminam precīzi jāatsedz jēdziena saturs. Matemātisko jēdzienu saturu parasti atsedz ar definīciju. Visbiežāk tiek lietoti divi definēšanas veidi: 1) nosaucot ģinti un sugas pazīmi(es), t.i. iepriekš zināmu vispārīgu jēdzienu un pazīmes, kas definējamo jēdzienu atšķir no visiem citiem, kurus apvieno šis vispārīgais jēdziens, 2) aprakstot, kā definējamais objekts rodas. Jēdzienu savstarpējā mijiedarbība tiek formulēta izteikumos (spriedumos). Par izteikumiem vienmēr var viennozīmīgi pateikt, vai tie ir patiesi vai aplami. Matemātikas kursā skolā jēdzienus spriedums un izteikums jāuztver kā sinonīmus, vienkāršības labad lietojot tikai vienu no tiem – izteikumi. Matemātikā biežāk lietojamie izteikumi ir aksiomas un teorēmas. Viens un tas pats jēdziens bieži pieļauj dažādas definīcijas. Teorēmu formulējumi no valodas viedokļa var būt ļoti dažādi, bet tos iespējams pārveidot standartformā:“Ja …, tad …” . Definīciju un izteikumu lietošana un izpratne ir ļoti nozīmīgi komunikācijas prasmju pilnveidošanā – svarīga prasme ir veidot matemātiski korektus apgalvojumus, piemēram, pareizi lietot saikļus “un, vai”. Apgūstot darbības ar kopām, tas tiek ilustrēts, analizējot skolēnam jau zināmus vienādojumu un nevienādību risinājumus. Par ļoti svarīgu uzskatāma skolēna prasme veidot atsevišķus izteikumus no vispārīgiem izteikumiem un otrādi. Gan indivīda, gan cilvēces attīstības pirmajās pakāpēs par matemātisko patiesību izziņas avotu kalpo novērojumi un pieredze – empīriskais, induktīvais izteikumu iegūšanas veids. Tas ir nozīmīgs arī vidusskolas matemātikas saturā, jo tādējādi var nonākt pie izteikumiem, kā vairāk vai mazāk ticamiem pieņēmumiem, hipotēzēm, kurām nepieciešams pierādījums, kas balstās uz iepriekš pierādītiem izteikumiem. Vidusskolā skolēnos jānostiprina izpratne par dedukciju kā īpašu, matemātikai vien raksturīgu izziņas veidu. Skolēnam jārada priekšstats par dažādiem pierādījumu veidiem. Būtiskākais ir skolēnos veidot iekšēju nepieciešamību savus izteikumus un slēdzienus vienmēr pamatot. /DZMIC materiāli/

This chapter does not contain any resources yet.

Skolēnu līdzšinējā pieredzē, mācoties matemātiku un fiziku, jau var būt nācies saskarties ar situācijām, kad nepieciešams aprēķināt dažādmalu trijstūra elementus un nepietiek ar jau zināmajām metriskajām sakarībām taisnleņķa trijstūrī vai Pitagora teorēmu. Piemēram, vai trigonometriskās sakarības definētas tikai šauram leņķim, vai eksistē un iespējams aprēķināt sinusa un kosinusa vērtības platam leņķim? Kā izmērīt attālumus vai leņķus dabā, pie kuriem praktiski nevar piekļūt (ar šādām problēmām nereti jāsastopas mērniekiem vai būvniekiem)? Skolēni iegūs zināšanas un prasmes, kas ļaus atrisināt konkrētus uzdevumus, pilnveidos izpratni par ģeometrisko figūru īpašībām, kā arī gūs pieredzi plānošanā, spriedumu un pierādījumu veidošanā. Temata ietvaros skolēni nostiprina pamatskolā iegūtās zināšanas par trijstūriem, paplašina tās, pierādot sinusa un kosinusa teorēmas. Definē trigonometrisko riņķi un, izmantojot jau pamatskolā apgūto leņķa kā plaknes figūras jēdzienu, ievieš pagrieziena leņķa jēdzienu, kas ļauj definēt trigonometriskās funkcijas arī platam leņķim (pagaidām tikai I un II kvadrantā bez radiāna jēdziena apskatīšanas). Būtiski ir akcentēt prasmi plānot risinājumu, izmantot mērījumu un aprēķinu rezultātus, lai formulētu hipotēzi, veicināt nepieciešamību un prasmi pamatot gan risinot aprēķina uzdevumus, gan veicot pierādījumus. Svarīgi ir piedāvāt praktiska satura uzdevumus, kuru atrisināšanai nepieciešams izmantot sakarības trijstūrī. Ieteicams veltīt uzmanību sadarbības prasmju pilnveidošanai, veicot pētnieciskos un praktiskos darbus. Minētās teorēmas ir jaunie iegaumējamie fakti, taču vēlams skolēniem piedāvāt uzdevumus, kuru risinājumos jāizmanto arī citas sakarības, kuras skolēni atrod uzziņas literatūrā, attīstot prasmi meklēt nepieciešamo informāciju. /DZMIC materiāli/

This chapter does not contain any resources yet.

Lai aprakstītu mainīgus procesus, nepieciešamas arī tādas funkcijas, kā eksponentfunkcijas, logaritmiskās un trigonometriskās funkcijas, jo ne vienmēr to var izdarīt ar lineārām funkcijām, kvadrātfunkcijām un pakāpes funkcijām,. Ļoti daudzus dabas procesus, piemēram, baktēriju skaita izmaiņas, radioaktīvo elementu daudzuma atkarību no laika, raksturo eksponentfunkcija. Šajā tematā tiek definēti daudz jauni jēdzieni: n – tās pakāpes sakne, pakāpe ar racionālu kāpinātāju, logaritms. Darbības ar saknēm un logaritmiem tiks apskatītas 12. klases tematos “Eksponentvienādojumi un nevienādības” un “Logaritmiskie vienādojumi un nevienādības”. Papildus jau apgūtajiem jēdzieniem, kas saistīti ar funkciju: definīcijas un vērtību apgabals, funkcijas nulles, augšanas un dilšanas intervāls, vislielākā, vismazākā vērtība, paritāte, tiek ieviests jēdziens funkcijas periodiskums. Tādēļ tiek akcentēta prasme saskatīt periodiskumu dažādos procesos, piemēram, svārstības, viļņi, Saules lēktu laiks, Mēness fāžu maiņa. Pirms trigonometrisko funkciju apguves, papildus skolēnam jau pazīstajai leņķa mērīšanai grādos, jālieto jauna leņķa lieluma mērvienība – radiāns. Nepieciešams nostiprināt prasmi saskatīt funkciju kopīgās un atšķirīgās īpašības, saistot tās ar jaunām funkcijām (eksponentfunkciju, logaritmisko funkciju un trigonometriskām funkcijām) un to grafiku konstruēšanu, pētīšanu, tai skaitā, parametru ietekmi uz funkcijas grafiku. Parametru ietekme uz funkciju grafikiem tiek pētīta, izmantojot informācijas tehnoloģijas. Grafiku transformāciju iegaumēšana netiek prasīta, svarīga ir izpratne par transformāciju veidošanos. Tiek aplūkota tikai to parametru ietekme, kas nepieciešama apgūstot fiziku, risinot praktiska satura uzdevumus. Ļoti svarīga ir spēja formulēt matemātiskos faktus, precīzi un pareizi lietojot matemātiskos terminus. Vēlams mācīties to, saskatot funkcijas īpašības, dažādus faktus par parametru ietekmi uz funkcijas grafiku. /DZMIC materiāli/

• 1. Sin ar periodu
• 2. tg funkcijas grafiks
• 3. Baktēriju eksponenciāla dalīšanās
• 4. Eksponenciāla sarukšana
• 5. Dažādu funkciju vērtību augšanas straujums
• 6. Logaritma funkcijas pielietojums
• 7. Populācijas aprēķini, izmantojot logaritmus

Skolēniem virknes, aritmētiskās un ģeometriskās progresijas jēdziens ir zināms no pamatskolas. Vidusskolā iespējams parādīt skolēniem, ka temats, kurš nosacīti ir savrups, būtībā ir cieši saistīts ar citiem matemātikas jautājumiem. Virknes ir lielumu maiņu veidu kvantitatīvi raksturotāji (tai skaitā aritmētiskās un ģeometriskās progresijas raksturo divus ļoti izplatītus lielumu maiņu veidus – ja process rit vienmērīgi vai ir process, kurā pieaugums pats kļūst par jauna pieauguma avotu). Virknes var interpretēt kā naturāla argumenta funkcijas, kuras atspoguļo lielumu maiņas likumus. Jāakcentē virkņu uzdošanas veidu dažādība, būtiska ir simbolikas lietošanas prasmju pilnveidošana, iespējams nostiprināt prasmi izteikt lielumus no formulas. Tematā iespējams pievērsties hipotēžu izvirzīšanai, saskatot likumsakarības (par virknes nākamo locekli, virknes locekļu summu), veicināt izpratni par pierādījuma nepieciešamību, pilnveidot prasmi pierādīšanai lietot matemātiskās indukcijas principu. Izpratne par virknēm ir ieguldījums turpmākajā izglītībā (kad būs nepieciešams apgūt robežas, rindas), radot priekšstatu par bezgalīgas virknes summas aprēķināšanas iespēju. Izmantojot bezgalīgi dilstošas ģeometriskas progresijas summas formulu, var pāriet no skaitļa pieraksta bezgalīgas periodiskas decimāldaļas formas uz parasto daļu. Virkņu saistību ar citiem matemātikas un ne tikai matemātikas jautājumiem var akcentēt, demonstrējot Zelta griezumu un Fibonači virkni. Temata apguvē ir būtiskas skolēnu iepriekšējās zināšanas, pieredze, intuīcija. Akcentējot prasmi saskatīt likumsakarības, jānorāda, ka dažu virknes pirmo locekļu apskatīšana neļauj neko apgalvot par virknes veidošanas vispārīgo likumu, tā būs tikai hipotēze. /DZMIC materiāli/

This chapter does not contain any resources yet.

Temats ir nozīmīgs, jo nostiprina algoritmiskās prasmes, pilnveido izpratni par vienādojumu kā reāla procesa modeli. Būtiski ir prast izveidot algebrisku izteiksmi vai vienādojumu kā matemātisku modeli, risinot dažādus uzdevumus, piemēram, par procentiem un kustību., kā arī saskatīt atšķirību starp vienādojuma kā matemātiska modeļa atrisinājumu un reālas problēmas atrisinājumu. Pamatskolā skolēni jau apguvuši racionālas algebriskas izteiksmes, identitātes un vienādojuma jēdzienus, prot izpildīt identiskus pārveidojumus, atrisināt lineārus un kvadrātvienādojumus. Īpaša uzmanība veltīta izteiksmes definīcijas apgabala nozīmei, aplūkojot izteiksmju pārveidojumus, kur tas mainās. Skolēniem jāveido izpratne par to, ka atrisināt vienādojumu nozīmē atrast visas tā saknes un pamatot, ka citu nav. Izmantojot pazīstamus vienādojumus, būtiski ir attīstīt prasmes saskatīt un lietot atbilstošas vienādojumu risināšanas metodes (sadalīšana reizinātājos, substitūcijas metode, grafiskais paņēmiens), kas noderēs arī citu vienādojumu atrisināšanā. Dažkārt ir lietderīgi uzskicēt grafikus, lai rastos priekšstats par vienādojuma sakņu skaitu, turklāt tiek nostiprinātas iemaņas funkciju grafiku zīmēšanā. /DZMIC materiāli/

This chapter does not contain any resources yet.

Temats ir nozīmīgs, jo nostiprina algoritmiskās prasmes, pilnveido izpratni par vienādojumu kā reāla procesa modeli. Būtiski ir prast izveidot algebrisku izteiksmi vai vienādojumu kā matemātisku modeli, risinot dažādus uzdevumus, piemēram, par procentiem un kustību., kā arī saskatīt atšķirību starp vienādojuma kā matemātiska modeļa atrisinājumu un reālas problēmas atrisinājumu. Pamatskolā skolēni jau apguvuši racionālas algebriskas izteiksmes, identitātes un vienādojuma jēdzienus, prot izpildīt identiskus pārveidojumus, atrisināt lineārus un kvadrātvienādojumus. Īpaša uzmanība veltīta izteiksmes definīcijas apgabala nozīmei, aplūkojot izteiksmju pārveidojumus, kur tas mainās. Skolēniem jāveido izpratne par to, ka atrisināt vienādojumu nozīmē atrast visas tā saknes un pamatot, ka citu nav. Izmantojot pazīstamus vienādojumus, būtiski ir attīstīt prasmes saskatīt un lietot atbilstošas vienādojumu risināšanas metodes (sadalīšana reizinātājos, substitūcijas metode, grafiskais paņēmiens), kas noderēs arī citu vienādojumu atrisināšanā. Dažkārt ir lietderīgi uzskicēt grafikus, lai rastos priekšstats par vienādojuma sakņu skaitu, turklāt tiek nostiprinātas iemaņas funkciju grafiku zīmēšanā. /DZMIC materiāli/

This chapter does not contain any resources yet.