Ein Element v ∈R[sup]3[/sup] kann sowohl als Punkt im Raum als auch als Richtungsvektor interpretiert werden. Das Konzept [b]homogene Koordinaten[/b] stellt beide Objekte auch unterschiedlich dar als[br]Richtungsvektor [math]\vec{v}=\left(\begin{matrix}v_{x}\\v_y\\v_z\\\textcolor{red}{0}\end{matrix}\right) [/math] oder Punkt im Raum [math]V=\left(\begin{matrix}v_{x}\\v_y\\v_z\\\textcolor{red}{1}\end{matrix}\right) [/math] [br][br]Mit A ∈ R[sup]3×3[/sup] ,eine Matrix, die eine lineare geometrische Transformation beschreibt, und v ∈ R[sup]3[/sup], ein Vektor lässt sich eine affine Transformation angeben[br][math]\vec{x}\mapsto A\cdot\vec{x}+\vec{v}[/math].[br]Sie ist die Verknüpfung einer linearen Transformation mit einer Verschiebung. Jede affine Transformation lässt sich in homogenen Koordinaten durch eine Matrix der Form[br][math]\left(\begin{matrix}\begin{matrix}\; &\;&\; \\ \;&A&\; \\ \;&\;&\; \end{matrix} & \begin{matrix}v_x\\v_y\\v_z\end{matrix}\\ \begin{matrix}0&0&0\end{matrix} &\textcolor{red}{1}\end{matrix}\right)[/math][br]darstellen.[br][url=http://www.math.kit.edu/iag2/~globke/media/koordinaten.pdf][icon]/images/ggb/toolbar/mode_text.png[/icon]http://www.math.kit.edu/iag2/~globke/media/koordinaten.pdf[br][/url][br]Die Drehmatrix[br]R[sub]n[/sub]([math]\alpha[/math],n1,n2,n3) [math]\alpha[/math]=Drehwinkel, n[sub]i[/sub]=Richtungsvektor (normiert) der Drehachse[br]T[sub]E[/sub]=Translationsvektor für Punkt E (Für Drehung muss der Punkt in den Ursprung verschoben werden und nach der Drehung wieder zurück)[br]

Drehung um eine Achse im Raum. Gegeben durch einen Vektor v. [br]Beispiel in kartesischen Koordinaten und in homogenen Koordinaten:[br][br]Die Ecke einer Figur mit den Koordinaten[br]E = (5,8, -7)[sup]T[/sup] [br]wurde um einen Winkel von pi/4 gegen den Uhrzeigersinn um die Drehachse v = 1/5(4,0,3)[sup]T[/sup] gedreht.[br]Diese Richtung v entspricht der der Flächennormalen der Figur. [br]Zunächst soll die Ecke E und die Drehung in homogenen Koordinaten angegeben werden und dann die Transformationsmatrix M[sub](Gesamt)[/sub] in homogenen Koordinaten angegeben werden, die die Figur wieder in die ursprüngliche Position dreht.[br][br][math]M_{Gesamt}=R_{\phi=-45°}^v=\left(\begin{array}{rrrr}0.895&-0.424&0.141&4.905\\0.424&0.707&-0.566&-3.738\\0.141&0.566&0.813&-6.541\\0&0&0&1\\\end{array}\right) [/math]

Beispiel in homogenen Koordinaten und Abbildung durch elementare Achsendrehungen R[sub]x [/sub]R[sub]y [/sub]R[sub]z[/sub][br][i][br]Purgathofer, TU Wien (Link unten)[br]1. Schritt = Punkt P in den Koordinatenursprung verschieben: T(-p[sub]x[/sub],-p[sub]y[/sub],-p[sub]z[/sub])[br]2. Schritt = Vektor u in die z-Achse drehen[br]2a. Vektor u um die x-Achse in die xz-Ebene drehen: Rx(α)[br] Sei u = (a,b,c), dann ist u´=(0,b,c) die Projektion von u auf die yz-Ebene. Der Drehungswinkel α um die [br] x-Achse ergibt sich aus cos α = c/d mit d= √(b²+c²)[br]2b. Vektor u um die y-Achse in die z-Achse drehen: Ry(β)[br] Der Drehungswinkel β um die y-Achse ergibt sich aus cos β = d (bzw. sin β = -a)[br]3. Schritt = Drehung um θ um die z-Achse ausführen: Rz(θ)[br]4. Schritt = Vektor u in die ursprüngliche Richtung zurückdrehen: zuerst Ry(-β), dann Rx(-α)[br]5. Schritt = Punkt P1 an die ursprüngliche Position zurückverschieben: T(x1,y1,z1)[br][/i][br]R[sub]x[/sub]([math]cos⁻¹\left( \frac{v_z}{\sqrt{v_y^2+v_z^2}}\right)[/math]=0°) und R[sub]y[/sub]([math]cos^{-1}\left(\sqrt{v_y^2+v_z^2}\right)[/math]=53.13°) bei R[sub]z[/sub]([math]\theta[/math]=45°)

http://www-lehre.inf.uos.de/~cg/2010/skript/node98.html[br]