In der Realität können Interpolationen genutzt werden, um mithilfe weniger Messwerte einen Verlauf darzustellen. Mithilfe dieses Verlaufs können dann Prognosen über die Zukunft abgegeben werden. Dies kennt ihr bereits von Steckbriefaufgaben.[br][br]Mario wirft einen Ball: Der Ball verlässt die Hand auf einer Höhe von 2 m über dem Erdboden. 8 m entfernt von Mario befindet er sich auf einer Höhe von 3 m. 10 m entfernt befindet er sich noch auf einer Höhe von 2 m.[br][br][color=#1155Cc]a.) Stellt eine Funktionsgleichung für die Flugbahn des Balls auf, indem ihr das erworbene Wissen aus Kapitel 2 anwendet. Die untenstehenden Fragen könnt ihr zur Kontrolle, aber auch zur Hilfestellung nutzen.[br][br]b.) Berechnet, in welcher Entfernung zu Mario der Ball auf dem Boden aufkommt.[/color]
Welche Punkte sind von der Aufgabenstellung vorgegeben?
Welchen Grad haben die für diese Aufgabe benötigten Lagrange-Polynome?
Wie kann man das Lagrange-Polynom zum Punkt P berechnen?
[math]\ell_A^{\left(2\right)}\left(x\right)=\frac{\left(x-8\right)\cdot\left(x-10\right)}{\left(0-8\right)\cdot\left(0-10\right)}=\frac{1}{80}\cdot\left(x-8\right)\cdot\left(x-10\right)[/math]
Wie lauten die anderen beiden Lagrange-Polynome?
[math]\ell_B^{\left(2\right)}\left(x\right)=\frac{x\cdot\left(x-10\right)}{8\cdot\left(8-10\right)}=-\frac{1}{16}\cdot x\cdot\left(x-10\right)[/math][br][br][math]\ell_C^{\left(2\right)}\left(x\right)=\frac{x\cdot\left(x-8\right)}{10\cdot\left(10-8\right)}=\frac{1}{20}\cdot x\cdot\left(x-8\right)[/math]
Wie kann man nun das Interpolationspolynom berechnen?
[math]p\left(x\right)=2\cdot\ell_A^{\left(2\right)}\left(x\right)+3\cdot\ell_B^{\left(2\right)}\left(x\right)+2\cdot\ell_C^{\left(2\right)}\left(x\right)[/math]
Wie lautet das Interpolationspolynom?
[math]p\left(x\right)=-\frac{1}{16}x^2+\frac{5}{8}x+2[/math]
Wie lautet ein Ansatz für Aufgabenteil b?
[math]f\left(x\right)=0[/math] [math]\Rightarrow-\frac{1}{16}x^2+\frac{5}{8}x+2=0[/math]
Wie lautet die Lösung zu Teil b?
[math]x\approx12,55[/math] m
[size=50]Diese Aktivität, sowie sämtliche Applets innerhalb unterliegen der Geogebra-Lizenz:[/size] [size=50][size=50][size=50][size=50][size=50][size=50][size=50][url=https://www.geogebra.org/license]https://www.geogebra.org/license[/url][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size]