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Erinnerung:[br]Sie haben in der Sekundarstufe I Geraden kennengelernt. Geometrisch haben Sie Geraden als alle Punkte [math]\overrightarrow{P}=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}[/math]identifiziert, die die Geradengleichung [math]y(x)=...[/math] erfüllen.[br]Sie kennen sicher ebenfalls die eindeutige Festlegung einer Geraden durch zwei Punkte [math]\overrightarrow{P_1}=\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}[/math] und [math]\overrightarrow{P_2}=\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} [/math], die auf der Geraden liegen und die Geradengleichung:[br][br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_3/Geradengleichung2d.png[/img][br][br]Alle Punkte [math]\vec{P}=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}[/math], die auf der Geraden liegen, erfüllen die Geradengleichung [math]y=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \cdot (x-x_1)+y_1[/math].[br]Man erkennt in der Gleichung die [b]Änderung [/b]der Koordinaten zwischen den beiden Punkten [math](y_2-y_1)[/math] und [math](x_2-x_1)[/math] und die Koordinaten von [math]\vec{P_1}[/math] als [b]Bezugspunkt[/b].[br]Ganz ähnlich kann man Geraden auch mit Vektoren und deren geometrische Deutungen beschreiben - in 2D und 3D: man benötigt einen Bezugspunkt und einen Pfeil, um die Änderungen zu beschreiben.
Erkunden Sie das nachfolgende Applet M3.V.12 A2 App Geraden vektoriell [br]und beschreiben Sie, wie man mithilfe von Punkten und Vektoren eine Geradengleichung aufstellt. [br]Erläutern Sie die einzelnen Bestandteile der Gleichung.
Mithilfe des (Bezugs-)Punktes [math]\vec{P}[/math] und des (Richtungs-)Vektors [math]\vec{v}[/math] erhält man für jeden Wert des Parameters 𝑡 einen Punkt [math]\vec{X}[/math]. Alle diese Punkte [math]\vec{X}[/math] liegen auf einer Geraden, die durch [math]\vec{P}[/math] verläuft[br]und parallel zu 𝑣 ist.[br]Geradengleichung: [math]\vec{X}=\vec{P}+t\cdot \vec{v}[/math][br]Der Punkt [math]\vec{P}[/math] ist ein (bekannter) Punkt der Geraden. Der Vektor [math]\vec{v}[/math] gibt die Richtung der Geraden im Raum vor. Der Parameter 𝑡 gibt das Vielfache des Vektors [math]\vec{v}[/math] an, das man an den Punkt [math]\vec{P}[/math] anhängen muss, um zum Punkt [math]\vec{X}[/math] zu gelangen.
[b][size=150][color=#cc0000]||[/color][color=#1155cc] Benutzerhinweise zum obigen Applet[/color][/size][/b][br][b][size=150][color=#cc0000]|| [/color][/size][/b]Ein Häkchen bei [color=#00ff00]mehr Repräsentanten[/color] blendet Pfeildarstellungen desselben Vektors ein. [br][b][size=150][color=#cc0000]|| [/color][/size][/b]Ein Häkchen bei [color=#cc0000]Punkt [/color]und [color=#0000ff]Verschiebungsvektor [/color]zeichnet einen Punkt und von diesem aus eine [br][b][size=150][color=#cc0000]|| [/color][/size][/b]Pfeildarstellung des 1.5-fachen des Vektors [math]\vec{v}[/math] ein. Das Pfeilende markiert den Punkt [color=#0000ff][math]\vec X [/math][/color]. [br][b][size=150][color=#cc0000]|| [/color][/size][/b]Der Faktor [color=#0000ff]t=1.5[/color] lässt sich per Schieberegler ändern.[br][b][size=150][color=#cc0000]|| [/color][/size][/b]Mit den Schaltern [color=#6aa84f]an [/color][color=#cc0000]aus [/color]unter Spur [math]\vec X [/math] hinterlässt der Punkt [color=#0000ff][math]\vec{X}[/math][/color] (Schieberegler) eine Spur.[br][b][size=150][color=#cc0000]|| [/color][/size][/b]Ein Häkchen bei Gerade zeichnet eine Gerade und bei Geradengleichung wird selbige dazu angezeigt.[br][b][size=150][color=#cc0000][b][size=150][color=#cc0000][br]||[/color][/size][/b] [/color][/size][/b]Wenn man oben rechts im Applet auf [img]https://juergen-roth.de/images/icons/jr/Schaltflaeche_neu_laden.png[/img] klickt, wird das Applet auf seinen Ausgangszustand zurückgesetzt. [br][b][size=150][color=#cc0000][b][size=150][color=#cc0000]||[/color][/size][/b] [/color][/size][/b]Wenn man unten rechts im Applet auf [img]https://juergen-roth.de/images/icons/jr/ggb_vollbild_icon.png[/img] klickt, wird das Applet im Vollbild dargestellt.[br][br][br]
Erkunden Sie das nachfolgende Applet und geben Sie in der Eingabezeile die Geradengleichung in der Form [math] h(t)=A+t\cdot v [/math] ein. Erzeugen Sie dann auf möglichst vielen Wegen eine Gerade durch die Punkte [math]C=(4,4,1)[/math] und [math]D=(0,-1,2)[/math].[br]Notieren Sie schließlich drei verschiedene Vorgehen, um in GeoGebra 3D eine Gerade zu erzeugen.
z.B.: Eingabe zweier Punkte 𝐴 und 𝐵, dann 𝑔 = 𝐺𝑒𝑟𝑎𝑑𝑒(𝐴, 𝐵)[br]oder Eingabe zweier Punkte 𝐶 und 𝐷, dann 𝑣 = 𝑉𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟(𝐶, 𝐷) und ℎ = 𝐺𝑒𝑟𝑎𝑑𝑒(𝐶, 𝑣)[br]oder 𝑘 = 𝐺𝑒𝑟𝑎𝑑𝑒(𝐴, 𝑣)[br]oder 𝑓(𝑡) = 𝐶 + 𝑡 ⋅ 𝑣
[b][size=150][color=#cc0000]||[/color][color=#1155cc] Benutzerhinweise zum obigen Applet[/color][/size][/b][br][b][size=150][color=#cc0000]|| [/color][/size][/b]Vektoren und Punkte werden in GeoGebra beide als Liste von Einträgen [code]...=(1,2,3)[/code] eingegeben.[br][b][size=150][color=#cc0000]|| [/color][/size][/b]Bei Großbuchstaben interpretiert GeoGebra dies als Punkt, bei Kleinbuchstaben als Pfeil.[br][b][size=150][color=#cc0000]|| [/color][/size][/b]Ein weiterer Punkt lässt sich dynamisch als Summe aus Punkt und Vielfachem eines Vektors erzeugen. [br][b][size=150][color=#cc0000]|| [/color][/size][/b]Ist der Bezeichner des Vielfachen noch nicht vergeben - wie hier k - interpretiert GeoGebra diesen[br][b][size=150][color=#cc0000]|| [/color][/size][/b]als Parameter und erzeugt automatisch einen Schieberegler.[b][size=150][color=#cc0000][b][size=150][color=#cc0000][br]||[/color][/size][/b] [/color][/size][/b]Wenn man oben rechts im Applet auf [img]https://juergen-roth.de/images/icons/jr/Schaltflaeche_neu_laden.png[/img] klickt, wird das Applet auf seinen Ausgangszustand zurückgesetzt. [br][b][size=150][color=#cc0000][b][size=150][color=#cc0000]||[/color][/size][/b] [/color][/size][/b]Wenn man unten rechts im Applet auf [img]https://juergen-roth.de/images/icons/jr/ggb_vollbild_icon.png[/img] klickt, wird das Applet im Vollbild dargestellt.[br][br][br]
[i][u]Quellen: [/u][br]Susanne Digel und Jürgen Roth.[/i]