[b]Auftrag 1[/b][br][br]Bewegen Sie den Punkt [math]T(0|1)[/math] mit der Maus entlang des Graphen der Funktion [math]f[/math]. Zeichnen Sie den Graphen der Ableitungsfunktion in Ihr Heft im Intervall [math]I=[-4;3][/math] (eine Kästchenlänge entspricht einer Einheit), in dem Sie die Tangentensteigung [math]m[/math] übertragen. Verbinden Sie anschließend die Steigungswerte miteinander, sodass der Graph der Ableitungsfunktion entsteht.

[b]Auftrag 2[/b][br][br]Aktivieren Sie den Punkt [math]A[/math]. Verschieben Sie den Punkt [math]T[/math] entlang des Graphen der Funktion [math]f[/math] und beobachten Sie die Spur der Steigungsfunktion. Vergleichen Sie diese mit Ihrem Graphen im Heft.[br][br][b]Auftrag 3[/b][br][br]Identifizieren Sie den Funktionstyp der Ableitungsfunktion. Erklären Sie Ihre Herangehensweise/Ihre Vermutung.[br][br][i][u]Tipp:[/u] Sollten Sie Schwierigkeiten bei der Bearbeitung dieses Auftrags haben, so wiederholen Sie den Auftrag 1 und 2 für eine andere Exponentialfunktion ([/i][i]z.B. [/i][math]f(x)=4^x[/math][i]). Führen Sie den Auftrag 2 ggf. nochmal mit einer anderen Exponentialfunktion durch, indem Sie in das Algebrafenster links neben dem KS klicken und [math]f(x)=2^x[/math] verändern.[/i][br][i][br][/i]

[justify]Im Folgenden wird die Ableitung der Exponentialfunktion [math]f\left(x\right)=a^x[/math] mit dem Differentialquotient an der Stelle [math]x_0[/math] hergeleitet. [br][i](Wiederholen Sie die Formel zur Bestimmung der Ableitung in einem Punkt mit dem Differentialquotienten. Schauen Sie ggf. nochmal in Ihrem Hefter oder in den Kursdateien nach.)[/i][/justify][br][b]Auftrag 4[/b][br][br]Bringen Sie die einzelnen Schritte für die Ableitung (im unteren Fenster) in die richtige Reihenfolge.

[b]Auftrag 5[/b][br] [br]Erklären Sie (schriftlich) die einzelnen durchgeführten Schritte.[br][br][br][b]Auftrag 6[/b][br][br]Beantworten Sie die folgende Frage:[br]Welche Art von Term erhält man rechnerisch für die Ableitung einer Exponentialfunktion? [br]Vergleichen Sie mit Ihrer Vermutung aus Teil 1, Auftrag 3. [br][br][br][b]Auftrag 7[/b][br]Der Ausdruck [math]\frac{a^h-1}{h}[/math]  ist eine von [math]x_0[/math] unabhängige feste Zahl. Übertragen Sie die Tabelle in Ihr Heft und berechnen Sie die zugehörigen Werte für den Ausdruck  [math]\frac{a^h-1}{h}[/math]  für eine Basis [math]a[/math] Ihrer Wahl.

Notieren Sie die Ableitungen (näherungsweise) für folgende Funktionen:[br]1. [math]f(x)=0,5^x[/math][br]2.  [math]f(x)=2^x[/math][br]3.  [math]f(x)=3^x[/math][br]4. [math]f(x)=4^x[/math][br]5. [math]f(x)=10,5^x[/math][br][br][i][u]Tipp:[/u] Identifizieren Sie zunächst die Basis [/i][math]a[/math][i] und berechnen Sie dann erneut den Quotienten wie in der Tabelle. [/i]

[color=#000000][b]Auftrag 8[/b][br][br]Variieren Sie die Einstellungen für die Basis [math]a[/math], indem Sie den Schieberegler bewegen. Untersuchen Sie den Graphen der Ableitungsfunktion. Notieren Sie Gemeinsamkeiten (oder Unterschiede).[/color]

[color=#000000][b]Auftrag 9[/b][br][br]Für einen bestimmten Wert (die Basis) [math]a[/math] sind der Graph der Funktion [math]f[/math] und der Graph der Ableitungsfunktion [math]f'[/math] identisch. [color=#000000]Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung aus Auftrag 8 möglichst exakt die Basis [math]a[/math] so, dass für die Funktion [math]f[/math] und der Ableitungsfunktion [math]f'[/math] [math]f\left(x\right)=f'\left(x\right)[/math] [/color]für alle [math]x\epsilon\mathbb{R}[/math] gilt.[br][br][br][/color][b]Auftrag 10[/b][br]   [br]Überlegen Sie, wie die Basis [math]a[/math] rechnerisch so bestimmt werden kann, dass [math]f\left(x\right)=f'\left(x\right)[/math] gilt. Notieren Sie einen Ansatz und führen Sie die Rechnung durch. [br][br][i][u]Tipp:[/u] Sollten Sie bei der Bewältigung des Auftrag 10 Hilfe benötigen, so schauen Sie sich dieses Video an: [br][center][url=https://www.youtube.com/watch?v=wduDctLri80][i][/i][/url][i][url=https://www.youtube.com/watch?v=wduDctLri80]Erklärung von Daniel Jung zu Bestimmung der Basis.[/url][/i] [/center][/i][br][b]Auftrag 11[/b][br][br]Recherchieren Sie den Namen dieser besonderen Exponentialfunktion oder belesen Sie sich im Buch S. 42 (Lambacher Schweizer). Notieren Sie Eigenschaften dieser Funktion.

[justify]Sie kennen nun die eine Möglichkeit Exponentialfunktionen abzuleiten und ihre Ableitungsfunktion mit Näherungswerten anzugeben. Zudem haben Sie die [math]e[/math]-Funktion, mit der besonderen Basis [math]e[/math], der Eulerschen Zahl, kennengelernt und wissen, dass die Ableitung dieser Funktion ebenfalls die [math]e[/math]-Funktion ist. Im Folgenden werden Sie sich mithilfe der Umkehrfunktion der [math]e[/math]-Funktion eine allgemeingültige Ableitungsregel für alle Exponentialfunktionen erarbeiten.[/justify][color=#7f6000][i][u]Zur Erinnerung (10. Klasse - Umkehrfunktion der Exponentialfunktion: Die Logarithmusfunktion)[br][/u][/i][br]Die Funktion [/color][math]f:\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^+; f\left(x\right)=a^x[/math][color=#7f6000] heißt [b]Exponentialfunktion [/b]zur [b]Basis a[/b] [/color][math]\left(a\in\mathbb{R}^+\backslash\left\{1\right\}\right)[/math][color=#7f6000][br][br]Die Funktion [/color][math]g:\mathbb{R}^+\longrightarrow\mathbb{R};g\left(x\right)=log_a(x)[/math][color=#7f6000] heißt [b]Logarithmusfunktion [/b]zur [b]Basis a[/b] [/color][math]\left(a\in\mathbb{R}^+\backslash\left\{1\right\}\right)[/math][color=#7f6000] und ist die [b]Umkehrfunktion [/b]zur [b]Exponentialfunktion[/b] mit der entsprechenden Basis.[br][br]Grafisch erhält man also den Graphen der Umkehrfunktion, indem jeder Punkt der Exponentialfunktion an der Winkelhalbierenden mit dem selben Abstand gespiegelt wird. [br][/color]

Genauso kann nun die Umkehrfunktion der [math]e[/math]-Funktion ermittelt werden. [br][br]Zu Veranschaulichung: Setzen Sie den Schieberegler [math]a\approx e[/math] und betrachten die Graphen der [math]e[/math]-Funktion und der Umkehrfunktion. [br][br]Wenn [math]f(x)=e^x[/math] ist, dann gilt für die Umkehrfunktion [math]g(x)=f^{-1}(x)=log_e(x)[/math]. Da es sich bei der [math]e[/math]-Funktion um eine spezielle Exponentialfunktion handelt, liegt auch bei der Umkehrfunktion ein besonderer Logarithmus vor: der "[i]logarithmus naturalis"[/i], kurz [math]ln[/math]. Sie finden die Taste dafür auf Ihrem Taschenrechner. [br][br]Folglich gilt für die Umkehrfunktion der [math]e[/math]-Funktion [math]g(x)=ln(x)[/math].[br][br]Die Bedeutsamkeit dieser Umkehrfunktion wird genau dann ersichtlich, wenn Sie die unten dargestellten Graphen und ihre Zusammenhänge untersuchen. [br][br][b]Auftrag 12[br][br][/b]1. Erklären Sie die Graphen der dargestellten Funktionen. [br]2. Erklären Sie den Zusammenhang zwischen [math]a[/math], [math]ln(a)[/math] und [math]f(0)[/math].[br]3. Ermitteln Sie mithilfe der Grafik die Werte für [math]ln(a)[/math]für die jeweilige Basis aus dem Auftrag 7.[br]4. Ziehen Sie begründet einen allgemeingültigen Schluss zur exakten Angabe der Ableitung von Exponentialfunktionen.

[b]Auftrag 13[/b][br][br]Fassen Sie Ihre Erkenntnisse aus den Aufträgen 1 - 12 zusammen und stellen Sie sie übersichtlich dar. [br][br][br][b]Auftrag 14[/b][br][br]Bilden Sie jeweils die exakte erste Ableitung folgender Funktionen:[br][br]1. [math]f(x)=4,89^x[/math][br]2. [math]g(x)=e^x[/math][br]3. [math]h(x)=x^2\cdot e^x[/math][br]4. [math]i(x)=e^{2x}[/math][br]5. [math]j(x)=3^x^{^2}[/math][br]6. [math]k(x)=x^2\cdot e^{2x}[/math][br][br]Notieren Sie Ihre Zwischenschritte.