[list=1][*]Was können Sie über die Anzahl der Nullstellen aussagen? Wie hängt dies mit der Lage von S zusammen?[/*][*]Nun soll eine Formel für die Nullstellen entdeckt werden. Betrachten Sie zunächst den Spezialfall, dass S auf der y-Achse liegt.[br]Untersuchen Sie, wie weit die Nullstellen von der y-Achse entfernt liegen, wenn der Scheitelpunkt unterhalb der x-Achse liegt. Finden Sie eine Gesetzmäßigkeit?[/*][*]Ziehen Sie so, dass S von der y-Achse weg liegt (z.B. auf (3, -4)) und übertragen Sie die Erkenntnisse von 2. auf diesen Fall. [br]Führen Sie dies für weitere Scheitelpunkte unterhalb der x-Achse durch.[/*][*]Finden Sie allgemein eine Formel für x[sub]1[/sub] und x[sub]2[/sub] abhängig von S = (x[sub]S[/sub], y[sub]S[/sub]).[/*][*]Finden Sie einen Zusammenhang zwischen x[sub]S[/sub] und den Koeffizienten p und q.[br]Finden Sie einen Zusammenhang zwischen y[sub]S[/sub] und den Koeffizienten p und q.[/*][/list]
[br]1. Liegt S oberhalb der x-Achse, gibt es keine Nullstellen.[br] Liegt S auf der x-Achse, gibt es eine Nullstelle.[br] Liegt S unterhalb der x-Achse, gibt es zwei Nullstellen.[br]2. Hat S z. B. die y-Koordinate -4, dann gibt es die Nullstellen x[sub]1,2[/sub] = [math]\pm[/math][math]\sqrt{4}[/math] = [math]\pm[/math] 2 usw.[br]3, Bei S = (3, -4) gibt es die Nullstellen x[sub]1,2[/sub] = 3 [math]\pm[/math] [math]\sqrt{4}[/math] = 3 [math]\pm[/math] 2, also x[sub]1[/sub] = 1 und x[sub]2[/sub] = 5.4. [br]4. x[sub]1,2[/sub] = x[sub]S[/sub] [math]\pm[/math] [math]\sqrt{-y\text{S}}[/math].[br]5. x[sub]S[/sub] = -p/2 und y[sub]S[/sub] = q - p²/4. Das ist letztlich die p-q-Formel in anderer Gestalt.