Eigentlich kann man sagen, das Ziel der Differenzialrechnung ist es, auch bei gebogenen Graphen mit dem Begriff [i]Steigung[/i] arbeiten zu können. [br][br]Die Steigung bei Geraden kennst du ja schon (keine Sorge, das wird in diesem Material auch noch mal wiederholt):[br][br][img]data:image/png;base64,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enfalls ist klar: Bei Geraden ist die Steigung überall gleich (sie sind ja gerade!).[br][br][br]Anders ist das bei gebogenen Graphen:[br][br][img]data:image/png;base64,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[/img][br]Da müsste man ja für jeden einzelnen Punkt immer eine andere Steigung angeben. Und geht das dann auch mit einem Steigungsdreieck? Immerhin ist die Linie ja gekrümmt...[br][br]Genau: [br]Du siehst, da muss man wohl etwas Hirnschmalz investieren. Und genau das kannst du mit diesem Material tun.[br][br]

Irgendwann in grauer Vorzeit hast du mal gelernt, was bei Geraden der Begriff Steigung bedeutet. Weißt du es noch?

Hier kannst du an einem einfachen Beispiel schon mal sehen, worum es in der Differenzialrechnung geht.[br][br][b]Problem:[br][/b]Ein Zug fährt an (dabei wird er immer schneller) und es soll berechnet werden, welche Geschwindigkeit er nach 20 m erreicht hat.[br][br]Hier siehst du das Weg-Zeit-Diagramm zu dieser Situation, das wegen der zunehmenden Geschwindigkeit nun keine Gerade mehr ist:[br]

[b]Erster Ansatz:[/b][br]Wir messen die Zeit, die der Zug für die 20 m benötigt. Das sind 8 s, wie du im Diagramm oben ablesen kannst. Dann rechnen wir: [math]v=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{20m}{8s}=2,5\frac{m}{s}[/math].[br]So haben wir aber nur eine Durchschnittsgeschwindigkeit bestimmt und nicht die momentane Geschwindigkeit am Ende der 20 m. Die müsste größer sein, denn der Zug wird ja die ganze Zeit über schneller. Dieser Ansatz war also nicht wirklich geeignet.[br][br][b]Verbesserter Ansatz:[br][/b]Das Steigungsdreieck zwischen den Punkten A und B hat uns die Durchschnittsgeschwindigkeit für den gesamten Zeitraum geliefert. Wenn wir einfach nur ein kleines Steigungsdreieck möglichst nahe bei B machen, dann bekommen wir einen besseren Wert. [br]Das kannst du machen, indem du den Punkt A weiter nach rechts ziehst. Klicke auf das Kontrollkästchen um die Geschwindigkeit automatisch berechnen zu lassen. [br]Je näher der Punkt A zum Punkt B wandert, desto genauer entspricht der berechnete Wert der tatsächlichen Momentangeschwindigkeit nach 20 Metern. Müssen wir einfach nur A auf B schieben und haben dann die gesuchte Geschwindigkeit? Versuch's mal!

[b]Idee:[br][/b]Wenn wir mit Punkt A "unendlich nahe" an Punkt B gehen (aber eben nicht ganz da hin), dann bekommen wir die gesuchte Momentangeschwindigkeit. Vielleicht kannst du sie schon erahnen, wenn du A gaaaaanz knapp vor B schiebst...[br][br]Da dieses "unendlich nahe herangehen" nicht so leicht fassbar ist, lösen wir uns nun von unserem Einstiegsbeispiel und entwickeln mathematisch einwandfreie Werkzeuge, um einen solchen Annäherungsvorgang exakt in den Griff zu bekommen.

[b]Auf jedem Berggipfel gibt es einen Punkt, wo es eben ist. In jedem Talkessel auch.[/b]

So ist das auch bei Funktionen: [br][br]Fahre mit dem Punkt P auf dem Funktionsgraphen entlang und beobachte das Tangentenstück. Wo ist es waagerecht?

Die "Berggipfel" heißen [b]Hochpunkte[/b], die "Talkessel" heißen [b]Tiefpunkte[/b].[br][br]Wenn man solche [b]Extrempunkte[/b] sucht, muss man also nach Stellen suchen, wo es "eben" ist, sprich, wo die Tangente waagerecht verläuft. Wie man das rechnerisch umsetzt, erfährst du im nächsten Kapitel.

Leider gibt es aber auch noch andere Punkte, bei denen die Tangente ebenbso waagerecht verläuft:

Da stellt sich die Frage: Wie unterscheiden wir diese drei speziellen Punkte (Hoch- Tief- und Sattelpunkt)?[br][br]Wir müssen jeden "Kandidaten" einzeln untersuchen: Dazu stellen wir uns vor, wir laufen auf dem Graphen über den betreffenden Punkt hinweg (immer von links nach rechts) und beobachten, wie die Steigung sich ändert:[br][list][*]Hochpunkt: Beim Spaziergang über den Gipfel geht es erst bergauf und dann bergab[/*][*]Tiefpunkt: Durch den Talkessel geht es erst bergab und dann bergauf[/*][*]Sattelpunkt: Hier geht es entweder vorher [i]und[/i] nachher bergauf (wie im Bild oben) oder es geht auf beiden Seiten des Sattelpunktes bergab.[/*][/list]Auch das leuchtet anschaulich sofort ein, aber wir wollen es ja rechnerisch hinkriegen. Wie das geht, kommt im nächsten Kapitel dran.

Hier wird ein Wasserbecken gefüllt. Wir betrachten die Füllhöhe (in cm) als Funktion der Zeit. Das heißt, dass auf der x-Achse die Zeit läuft und die y-Achse den Füllstand zeigt. Etwa so:

[code][/code]Die Zuflussrate von 25 cm/h bedeutet, dass sich die Füllhöhe jede Stunde um 25 cm ändert. Das ist also eine [b]Änderungsrate[/b]:[br]Sie gibt an, um wie viel sich die betrachtete Größe (hier die Füllhöhe) in einer Zeiteinheit ändert. Sie antwortet auf die Frage: [b]Wie stark ändert sich die Füllhöhe?[/b][br][br]Und dass diese Änderungsrate genau der Steigung des Funktionsgraphen entspricht, kannst du im Schaubild schnell am Steigungsdreieck erkennen. Auch für größere oder kleinere Zuflussraten gilt dieser Zusammenhang. Das kannst du mit dem Schieberegler ausprobieren.[br][br]Da also die Änderungsrate der Steigung entspricht gilt:[br][br][b]Änderungsrate = Steigung = Ableitung[/b]

Eine Funktion ist in einem Bereich[b] streng monoton wachsend[/b], wenn dort ihre Ableitung stets positiv ist.[br]Sie ist in einem Bereich [b]streng monoton fallend[/b], wenn dort ihre Ableitung stets negativ ist.[br]Das "streng" bedeutet, dass es wirklich bergauf/bergab gehen muss, dass also die Ableitung nicht Null werden darf. Wenn man von monoton wachsend/fallend (ohne streng) spricht, darf die Ableitung auch Null sein.

Die Funktion [math]f\left(x\right)=x^3[/math] ist auf dem offenen Intervall ([math]\infty;0[/math]) streng monoton steigend. Auf dem halb-offenen Intervall ([math]-\infty;0[/math]] ist sie jedoch nur monoton steigend. Ebenso auf ganz [math]\mathbb{R}[/math], denn in beiden Fällen ist die Stelle [math]\text{x=0}[/math] mit der Ableitung [math]f'\left(0\right)=0[/math] im Bereich enthalten.

[br]Die Funktion [math]f\left(x\right)=\frac{1}{x}[/math]ist auf [math]\mathbb{R}^+[/math] und auf [math]\mathbb{R}^-[/math]streng monoton fallend und damit auf ihrem gesamten Definitionsbereich. (Bei der "Problemstelle" x=0 ist die Funktion ja gar nicht definiert)

Was hat das denn bitte mit der Ableitung zu tun?![br][br]Das wirst du gleich sehen:[br]Wir schauen mal einen Funktionsgraphen aus einer anderen Blickrichtung an. Und stellen uns vor, wir fahren auf dem Graphen in Richtung der X-Achse.

Und schon haben wir eine Kurvenstrecke mit einer Rechtskurve (für [math]x<0[/math]) und einer Linkskurve (für [math]x>0[/math]).[br][br]In den nächsten Kapiteln lernst du, wie man mit Hilfe der Ableitung auch [i]berechnen[/i] kann, wo es Links- bzw. Rechtskurven gibt.

Unter welcher Bedingung darfst du Autofahren?[br]Klar, das darfst du erst, wenn du mindestens 17 bist. Also ist [i]mindestens 17 sein [/i]eine Bedingung für [i]Autofahren dürfen[/i]. Ohne 17 zu sein geht es nicht, also ist es eine [b]notwendige Bedingung[/b].[br]Aber reicht es auch aus, 17 zu sein? - Nein, denn du musst auch den Führerschein haben, und es muss dich jemand begleiten oder du musst sogar schon 18 sein. [br]Formulieren wir eine Bedingung, die alles drin hat, was es an Voraussetzungen braucht: Du musst mindestens 17 sein [i]und [/i]einen Führerschein besitzten [i]und [/i]eine Begleitung haben. Eine solche Bedingung, die ausreicht (altes Deutsch: die hinreicht), um alle Voraussetzungen zu erfüllen, heißt [b]hinreichende Bedingung.[br][br][/b]Es gibt auch Bedingungen die sowohl notwendig als auch hinreichend sind: Für die Gültigkeit des Satzes von Pythagoras ist es z. B. notwendig und hinreichend, dass das Dreieck rechtwinklig ist: Ohne die Rechtwinkligkeit gilt der Satz nicht, also ist sie eine notwendige Bedingung. Andererseits gibt es auch keine weiteren Bedingungen, die erfüllt sein müssen, also ist die Rechtwinkligkeit allein schon hinreichend. [br]Bedingungen können auch weder notwendig noch hinreichend sein:[br][i]18 sein[/i] ist z. B. weder notwendig fürs Autofahren (man darf ja unter bestimmten Bedingungen auch schon mit 17) noch hinreichend (Einen Führerschein braucht's ja auch noch).

Ganz am Anfang dieses Buchs war einmal die Rede von Optimierungsaufgaben. Jetzt sollst du berechnen, wie eine Blechdose aussehen muss, damit für einen Liter Suppe möglichst wenig Blech gebraucht wird.[br][br]Zunächst eine Vereinfachung, damit es nicht zu kompliziert wird:[br]Wir betrachten die Dose als Zylinder und legen für die Blechmenge einfach die Zylinderoberfläche zugrunde. Wir berücksichtigen also nicht, dass die Verbindungen zwischen Dosenwand und Boden bzw. Deckel gefalzt sind.[br][br]In dem Bild unten kannst du durch Verändern von Radius und Höhe (Bewegen der blauen Punkte) die Aufgabe erst mal durch Probieren lösen.