Wektory, płaszczyzna, prosta
[color=#c51414][b]Laboratorium matematyczne z GeoGebrą[/b][/color] Skrypt dla studentów uczelni technicznych [b]Elżbieta Kotlicka-Dwurznik, Joanna Rzepecka Politechnika Łódzka, Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki[/b] Projekt finansowany w ramach budżetu zadaniowego PŁ „Granty dydaktyczne PŁ” [url=https://port.edu.p.lodz.pl/course/view.php?id=41]Strona projektu na platformie Wikamp[/url] Łódź 2019
Table of Contents
- 1. Punkty i wektory
- Widoki Grafiki w GeoGebrze
- Punkty w R² i R³
- Wektory w R² i R³
- Działania na wektorach (punktach)
- Interpretacja geometryczna sumy i różnicy wektorów
- Wektory równoległe
- Iloczyn skalarny wektorów
- Iloczyn wektorowy
- Pole równoległoboku rozpiętego na wektorach
- Iloczyn mieszany wektorów
- Równoległościan rozpięty na 3 wektorach
- Zadanie 1.1
- Zadanie 1.2
- Zadanie 1.3
- 2. Płaszczyzna
- Płaszczyzna rozpięta na wektorach
- Równania parametryczne płaszczyzny
- Równanie ogólne płaszczyzny
- Równanie odcinkowe płaszczyzny
- Wzajemne położenie płaszczyzn
- Zadanie 2.1
- Zadanie 2.2
- Zadanie 2.3
- 3. Prosta
- Prosta równoległa do wektora
- Równania parametryczne prostej
- Prosta przez dwa punkty
- Odcinek - opis parametryczny
- Równania krawędziowe prostej
- Wzajemne położenie prostych
- Zadanie 3.1
- Zadanie 3.2
- 4. Prosta i płaszczyna
- Wzajemne położenie prostej i płaszczyzny
- Prosta prostopadła do płaszczyzny
- Odległość punktu od płaszczyny
- 5. Interpretacja geometryczna układów równań liniowych
- Przykład 5.1
- Przykład 5.2
- Przykład 5.3
- Zadanie 5.1
- Zadanie 5.2
- Zadanie 5.3
- Geometria 3D
Widoki Grafiki w GeoGebrze
[br]W GeoGebrze mamy do dyspozycji trzy okna graficzne:[br][list][*][b]Widok Grafiki[/b] i [b]Widok Grafiki 2[/b], w których definiujemy obiekty na płaszczyźnie,[/*][/list][list][*][b]Widok Grafiki 3D[/b], w którym operujemy obiektami przestrzennymi. [br][/*][/list]
Obiekty geometryczne w GeoGebrze najczęściej można tworzyć na kilka sposobów: [br][list][*]z poziomu Widoków Grafiki wykorzystując odpowiednie [b]narzędzia[/b] znajdujące się na Paskach narzędzi, [br][/*][/list][list][*]w Widoku Algebry lub Widoku CAS poprzez odpowiednie [b]polecenia[/b], przy czym w niektórych przypadkach polecenia te działają nieco inaczej w zależności od okna, w którym zostały wpisane.[br][/*][/list][br]Dla przykładu odcinek łączący punkty [math]A[/math] i [math]B[/math] możemy narysować używając narzędzia [b]Odcinek[/b] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_segment.png[/icon] lub poprzez polecenie [b]Odcinek[/b](A,B).[br]
Płaszczyzna rozpięta na wektorach
[br]Niech [math]u[/math] i [math]v[/math] będą wektorami niezależnymi (niezerowymi i nierównoległymi) w przestrzeni [math]\mathbb{R}^3[/math]. Wówczas dla dowolnych liczb rzeczywistych [math]s[/math] i [math]t[/math] wektory[center] [math]u[/math], [math]v[/math] i [math]s\,u+t\,v[/math][/center] są współpłaszczyznowe. Zatem punkty postaci [center][math]P=s\,u+t\,v[/math], [math]s,t\in\mathbb{R}[/math],[/center]leżą na [b]płaszczyźnie równoległej do wektorów [math]u[/math] i [math]v[/math] oraz przechodzącej przez punkt [math](0,0,0)[/math][/b].
Dla ustalonego punktu [math]P_0\in\mathbb{R}^3[/math] punkty postaci [center][math]P=P_0+s\,u+t\,v[/math], [math]s,t\in\mathbb{R}[/math],[/center]leżą na [b]płaszczyźnie równoległej do wektorów [/b][math]u[/math][b] i [/b][math]v[/math][b] oraz przechodzącej przez punkt[/b] [math]P_0[/math]. [br][br]
Prosta równoległa do wektora
[br]Niech [math]r[/math] będzie niezerowym wektorem w przestrzeni [math]\mathbb{R}^3[/math]. Wówczas dla ustalonego punktu [math]P_0[/math] punkty postaci [center][math]P=P_0+ t\cdot r[/math], gdzie [math]t\in \mathbb{R}[/math], [/center] leżą na prostej równoległej do wektora [math]r[/math] i przechodzącej przez punkt [math]P_0[/math]. [br]
Wzajemne położenie prostej i płaszczyzny
[br]Niech [math]l[/math] będzie prostą równoległą do wektora [math]r=[a,b,c][/math] oraz [math]\pi[/math] będzie płaszczyzną prostopadłą do wektora [math]n=[A,B,C][/math]. Wówczas wzajemne położenie prostej [math]l[/math] i płaszczyzny [math]\pi[/math] uzależnione jest od relacji między wektorami [math]r[/math] i [math]n[/math].[br]W szczególności[br][list][*][math]l\parallel \pi\ \Leftrightarrow\ r\perp n[/math],[br][/*][*][math]l\perp \pi\ \Leftrightarrow\ r\parallel n[/math]. [br][/*][/list]Ponadto jeśli prosta jest równoległa do płaszczyzny, to jest w niej zawarta albo rozłączna z płaszczyzną. Jeśli prosta nie jest równoległa do płaszczyzny, to przecina ją się w jednym punkcie. Aby wyznaczyć część wspólną prostej i płaszczyzny należy rozwiązać układ równań składający się z wszystkich równań opisujących prostą i płaszczyznę.
Przykład 4.1
Niech [center][math]l:\begin{cases}x=1+ 2t\\ y=2+t,\\ z=2 - t\end{cases} \ \ t\in \mathbb{R},[/math] [math]\pi :x-y+z=-2[/math].[/center]Wówczas [b]prosta[/b] [math]l[/math] jest [b]równoległa do płaszczyzny[/b] [math]\pi [/math], ale nie jest w niej zawarta.[br][br]Rzeczywiście. Wektor [math]r=[2,1,-1][/math] jest równoległy do prostej [math]l[/math], zaś wektor [math]n=[1,-1,1][/math] jest prostopadły do płaszczyzny [math]\pi [/math]. Ponieważ [math]r\circ n= 0[/math], więc [math]r\perp n[/math], co oznacza, że prosta [math]l[/math] jest równoległa do płaszczyzny [math]\pi [/math]. Uzasadnij, że podana prosta nie jest zawarta w płaszczyźnie.[br]
Ćwiczenie 1.
Zastanów się jak zmodyfikować równanie prostej [math]l[/math] w powyższym aplecie tak, aby była równoległa do płaszczyzny [math]\pi [/math] i zawarta w niej.
Przykład 4.2
Niech [center][math]l:\begin{cases}x=1-2t\\ y=1,\\ z=2 t\end{cases} \ \ t\in \mathbb{R},[/math] [math]\pi:x-y+3=0[/math].[/center]Wówczas [b]prosta[/b] [math]l[/math] nie jest [b]ani równoległa, ani prostopadła do płaszczyzny[/b] [math]\pi [/math].[br][br]Rzeczywiście. Wektor [math]r=[-2,0,2][/math] jest równoległy do prostej [math]l[/math], zaś wektor [math]n=[1,-1,0][/math] jest prostopadły do płaszczyzny [math]\pi [/math]. Ponieważ [math]r\circ n\ne0[/math] i [math]r\times n\ne[0,0,0][/math], więc prosta [math]l[/math] nie jest równoległa ani prostopadła do płaszczyzny [math]\pi [/math]. Punkt [math]P[/math] będący punktem przecięcia prostej [math]l[/math] i płaszczyzny [math]\pi [/math] wyznaczamy rozwiązując odpowiedni układ równań liniowych.[br]
Ćwiczenie 2.
Zastanów się jak zmodyfikować równanie prostej [math]l[/math] w powyższym aplecie tak, aby była prostopadła do płaszczyzny [math]\pi [/math]. Wyznacz punkt przecięcia wskazanej prostej i płaszczyzny [math]\pi [/math].
Przykład 5.1
[br]Rozważmy następujący układ równań liniowych: [br][center][math]\ \ \ \begin{cases}x+2y-z=1\\3x+y=2. \end{cases}[/math] [/center]Jest to układ dwóch równań z trzema niewiadomymi [math]x[/math], [math]y[/math], [math]z[/math]. Każde równanie opisuje pewną płaszczyznę [math]-[/math] oznaczmy je przez[br][center][math]\pi_1:x+2y-z=1[/math], [math]\pi_2:3x+y=2[/math].[/center]Aby podać interpretację geometryczną podanego układu równań najpierw zbadamy wzajemne położenie płaszczyzn [math]\pi_1[/math] i [math]\pi_2[/math]. Przypomnijmy, że w tym celu musimy wyznaczyć wektory prostopadłe do płaszczyzn. A zatem[br][center][math]n_1=[1,2,-1]\perp\pi_1[/math] oraz [math]n_2=[3,1,0]\perp\pi_1[/math].[/center][br][br]
Ponieważ wektory [math]n_1[/math] i [math]n_2[/math] nie są równoległe, więc płaszczyzny [math]\pi_1[/math] i [math]\pi_2[/math] także nie są równoległe. W takim przypadku przecinają się wzdłuż pewnej prostej. Równania tej prostej możemy wyznaczyć [br][list][*][color=#666666][color=#000000]rozwiązując samodzielnie rozważany układ równań (np. metodą Gaussa),[/color][/color][/*][*]wykorzystując w GeoGebrze narzędzie [b]Przecięcie dwóch powierzchni[i][color=#666666] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_intersectioncurve.png[/icon][/color][/i][/b][color=#666666][color=#000000] (spróbuj to zrobić w powyższym aplecie), [br][/color][/color][/*][*][color=#666666][color=#000000]rozwiązując układ równań w Widoku CAS (jak poniżej).[/color][/color][/*][/list]
Rozwiązania badanego układu równań leżą na prostej [math]l[/math] opisanej równaniami parametrycznymi:[br][center][math]\ \ \ l: \begin{cases}x=-\frac{1}{5}z_0+\frac{3}{5}\\y=\frac{3}{5}z_0+\frac{1}{5}, \quad z_0 \in \mathbb{R}. \\z=z_0\end{cases} [/math] [/center]
Ćwiczenie 1.
W rozważanym układzie równań zmień drugie równanie tak, aby powstał układ sprzeczny. Wskazówka: dobierz współczynniki płaszczyzny [math]\pi_2[/math] w taki sposób, by płaszczyzny [math]\pi_1[/math] i [math]\pi_2[/math] były równoległe i różne.
Ćwiczenie 2.
W rozważanym układzie równań dodaj trzecie równanie tak, aby powstał układ sprzeczny.