Cálculo Integral
Material para cálculo integral
Table of Contents
- Prueba de optimización
- Minimización de material en diseño de envases
- Maximización de volumen en diseño de envases
- Mezcla de colores RGB en diseño de envases
- Aproximación lineal
- Aproximación lineal de funciones
- La integral indefinida como antiderivada de una función
- Definiciones y conceptos
- Integral indefinida y constante de integración
- Algunos ejercicios de integrales indefinidas
- Relación entre una función y su antiderivada
- Aproximación al área bajo la curva
- Aproximación del área bajo una curva
- Relación entre integral definida y área bajo la curva
- Intergrales definidas y área entre la curva y un eje
- Diferencia entre integral definida y área
- Valor absoluto en integrales definidas y su interpretación gráfica
- Área encerrada entre dos curvas
- Área entre dos curvas
- Área entre curvas con más de dos intersecciones
- Sólidos de revolución
- Revolution Solids (Cylinder Method)
Minimización de material en diseño de envases
Aproximación lineal de funciones
Definiciones y conceptos
Antiderivada de una función
[color=#351C75]Sea [math]f\left(x\right)[/math] una función continua, y sea [math]F\left(x\right)[/math] una función diferenciable tal que [math]\frac{dF}{dx}=f\left(x\right)[/math], entonces a [math]F\left(x\right)[/math] la llamamos [i][b]antiderivada[/b][/i] de [math]f\left(x\right)[/math]. En otras palabras la antiderivada de una función [math]f\left(x\right)[/math], es una función cuya derivada es [math]f\left(x\right)[/math].[br][br][size=100][size=150][color=#9900ff][u]Idea clave: [/u][/color][/size][/size]Siempre que obtenemos una antiderivada [math]F\left(x\right)[/math], la forma de comprobar que nuestra respuesta es correcta es derivando [math]F\left(x\right)[/math], el resultado debe ser de nuevo [math]f\left(x\right)[/math], de otra forma nuestra antiderivada es incorrecta, prueba con los siguientes ejemplos: [br][br]a) Una antiderivada de [math]f\left(x\right)=2x[/math] es la función [math]F\left(x\right)=x^2[/math][br]b) Una antiderivada de [math]f\left(x\right)=cos\left(x\right)[/math] es la función [math]F\left(x\right)=sin\left(x\right)[/math][math][/math][/color] [br][br]Resuelve los siguientes ejercicios de práctica; puedes derivar las posibles opciones de respuesta para ver cuáles son las antiderivadas correctas.
Ejercicio 1
¿Cuál de las siguientes funciones es la antiderivada de [math]f\left(x\right)=3x^2[/math]?
Ejercicio 2
¿Cuál de las siguientes funciones es una antiderivada de [math]f\left(x\right)=Sec\left(x\right)Tan\left(x\right)[/math]?
Ejercicio 3
¿Cuál de las siguientes opciones es la antiderivada de la función [math]f\left(x\right)=\frac{1}{1+x^2}[/math]?
Pregunta 4
¿Cuál de las siguientes funciones es la antiderivada de [math]f\left(x\right)=e^x[/math]?
Pregunta 5
¿Cuáles de las siguientes funciones son antiderivadas de [math]f\left(x\right)=\frac{1}{x}[/math]? Señala todas las que sean correctas.
Pregunta 6
¿Cuáles de las siguientes opciones son antiderivadas de [math]f\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}[/math]? Señala todas las que sean correctas.
Aproximación del área bajo una curva
Intergrales definidas y área entre la curva y un eje
Ejercicio para distinguir entre integral definida y área entre una curva y un eje
1. Haz equipo con dos compañeros más y resuelvan las siguientes integrales definidas:[br][br]a) [math]\int_0^{2\pi}sin(x)dx[/math] b) [math]\int_0^{\pi}sin(x)dx[/math] c) [math]\int_{\pi}^{2\pi}sin(x)dx[/math][br][br]2. Verifiquen que [math]\int_0^{2\pi}sin(x)dx=\int_0^{\pi}sin(x)dx+\int_{\pi}^{2\pi}sin(x)dx=0[/math], o revisen su procedimiento en caso de que su resultado sea diferente.[br][br]Recuerda que las integrales anteriores pueden ayudarnos a calcular el área entre la gráfica de la función integrada y el eje, pero integrar en todo el intervalo no es útil porque el resultado es cero en este caso. Da click a la flecha en la parte superior de esta página para visualizar las integrales resueltas y sigue las instrucciones.
Área entre dos curvas
Determinación del área encerrada entre dos curvas.
En la gráfica se muestran las funciones f(x) y g(x).[br]Da click en las tres casillas diferentes (de preferencia una a la vez) para mostrar las áreas calculadas por cada integral y el área entre las dos curvas. Nota que los límites de integración son los valores de x de los puntos de intersección entre las funciones. Trata de establecer un método para calcular el área encerrada entre dos curvas y responde a las preguntas que están debajo del gráfico.
Tomando en cuenta las funciones de la gráfica anterior, responde:
a) ¿Qué diferencia hay entre calcular [math]\int_{-3}^2\left[g\left(x\right)-f\left(x\right)\right]dx[/math] y [math]\int_{-3}^2g\left(x\right)dx-\int_{-3}^2f\left(x\right)dx[/math]?[br][br]b) ¿Qué diferencia hay entre calcular [math]\int_{-3}^2\left[g\left(x\right)-f\left(x\right)\right]dx[/math] y [math]\int_{-3}^2\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx[/math]?[br][br]c) ¿Cuál de las dos integrales del inciso b) calcula correctamente el área entre las dos curvas?[br][br]d) ¿Porqué es negativo el resultado de la integral [math]\int_{-3}^2\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx[/math]? [br][br]e) ¿Podemos usar la integral del inciso d) para calcular el área encerrada entre las dos curvas? ¿Qué modificación habría que hacerle al resultado para poder obtener el área?
En las siguientes gráficas, selecciona todas las opciones que calculen correctamente el área sombreada entre las curvas.
Observa el resultado de todas las demás integrales una vez que hayas seleccionado tus respuestas.