Einführung Extremwertaufgaben am Beispiel des Berliner Bogens
An der Vorderseite des Berliner Bogens in Hamburg soll ein rechteckiges
Plakat mit möglichst großem Flächeninhalt angebracht werden.
Verschiebe den Punkt um die Gestalt des Rechtecks (symmetrisch zur y-Achse) zu verändern.
Beobachte den Zusammenhang mit der Ableitungsfunktion der Flächeninhaltsfunktion (in Abhängigkeit von )!
Vorgehensweise
- Hauptbedingung bestimmen: Ermittle die zu dem Sachverhalt, der maximiert oder minimiert werden soll, passende Funktion.
- Nebenbedingung aufstellen: Notiere die Gleichung der Nebenbedingung in mathematischer Schreibweise. In dieser Gleichung stehen vorerst immer zwei unterschiedliche Variablen, also z. B. a und b. (In einigen Fällen müssen mehrere Nebenbedingungen mathematisch ausgedrückt werden.)
- Zielfunktion bestimmen: Nebenbedingung umformen: Forme die Nebenbedingung so um, dass eine der beiden Variablen alleine auf einer Seite der Gleichung steht. Variable in Zielfunktion einsetzen: Ersetze in der Hauptbedingung eine Variable mit Hilfe der Nebenbedingung. Erhalte so eine Zielfunktion, in der nur noch eine Variable vor.
- Extremwert berechnen: Bestimme mit Hilfe der notwendigen bzw. hinreichenden Bedingung den gesuchten Extrempunkt.
- Fehlende Größen bestimmen: Nachdem eine Variable bestimmt ist, können alle fehlenden Größen berechnet werden. Setze dazu die bekannte Variable in die umgestellte Nebenbedingung(en) ein.
- Lösung angeben