[math]x=s-a[/math], [math]y=s-b[/math], [math]z=s-c[/math]. [br][br]Observemos la siguiente figura

La figura muestra el incírculo tocando los lados BC, CA, AB en X, Y, Z. Como dos tangentes a un círculo desde cualquier punto externo son iguales (esta prueba se encuentra en el capítulo preliminar), vemos que [math]AY=AZ[/math], [math]BZ=BX[/math], [math]CX=CY[/math]. Hemos nombrados estos segmentos como x, y, z, de tal manera que:[br][br][math]y+z=a[/math], [math]z+x=b[/math] y [math]x+y=c[/math]. [br][br]Sumando estas ecuaciones y utilizando la abreviación de Euler [math]s[/math] para el semiperímetro, obtenemos: [br][br][math]2x+2y+2z=a+b+c=2s[/math], tal que [math]x+y+z=s[/math].[br][br]Hemos demostrado el Teorema.

[math]\left(ABC\right)=sr[/math][br][br][b]Demostración[/b]: Observemos la siguiente figura

Como el triángulo IBC tiene base a y altura r, su área es [math]\left(IBC\right)=\frac{1}{2}ar[/math]. Añadiendo a la expresión analoga para (ICA) e (IAB) obtenemos: [math]\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)r=sr[/math]. [br][br]Hemos demostrado el teorema.

Los bisectores externos de cualquier dos ángulos de un triángulo son concurrentes con el bisector interno del tercer ángulo.[br][br][b]Demostración[/b]: La previa figura muestra el [math]\text{Δ}I_aI_bI_c[/math], en el cual sus lados son bisectores externos de los ángulos A,B,C. Cualquier punto en el bisector [math]I_cI_a[/math] de [math]\angle B[/math] son equidistantes de AB y BC. Similarmente, cualquier punto en [math]I_aI_b[/math] es equidistante de BC y CA. Por tanto, el punto [math]I_a[/math] donde estos dos bisectores externos se encuentran a distancias iguales [math]r_a[/math] de todos los tres lados. Como [math]I_a[/math] es equidistante de los lados AB y AC, tiene que yacer en el conjunto de puntos equidistantes de las lineas; o sea, tiene que yacer en la linea AI, el bisector interno de [math]\angle A[/math].