A [b]função exponencial[/b] é uma função da forma [math]y=a^x[/math], para algum [math]a\in\mathbb{R}[/math] positivo e diferente de 1. Caso [math]a=1[/math], a função é constante. A função [math]f\left(x\right)=a^x[/math] é crescente para [math]a>1[/math], e decrescente caso [math]a[/math] esteja entre 0 e 1.[br]Estamos especialmente interessados na função exponencial de base [math]e\approx2.71828...[/math].

Ao contrário das funções polinomiais que vimos antes, a função exponencial possui um comportamento assintótico: quando o exponente assume valores muito negativos, isto é, tendendo a [math]-\infty[/math], os valores da exponencial [math]y=e^x[/math] se aproximam cada vez mais de 0.[br]No Applet acima, podemos ver que a função se aproxima da reta pontilhada, chamada assíntota horizontal. Caso a função seja acrescida de algum valor, esta reta será transladada. Observe o que acontece quando mudamos o valor de [math]c[/math] no Applet.

O número de Euler [math]e[/math] é uma constante matemática - aproximadamente 2.72 - que é muito utilizada no Cálculo. Este número pode ser definido como limites de séries infinitas, ou de certas funções.[br]Por exemplo, a derivada da função exponencial de base [math]e[/math], [math]f\left(x\right)=e^x[/math], é igual a sua derivada. Isso é assunto do futuro, mas é claro que esta é uma regra de derivação bastante fácil e especial, assim como o número de Euler.

A função logarítmica é a inversa da função exponencial, isto é, se [math]y=a^x[/math], então [math]x=\log_ay[/math]. O gráfico da função logarítmica é a reflexão do gráfico da função exponencial pela reta [math]y=x[/math]. No Applet abaixo, temos os gráficos de [math]f\left(x\right)=a^x[/math] e [math]f^{-1}\left(x\right)=\log_a\left(x\right)[/math].

Assim como a função exponencial, a função logarítmica é crescente para [math]a>1[/math] e decrescente para [math]a[/math] entre 0 e 1. Como a base da função exponencial deve ser um valor positivo, ele também deve ser um valor positivo para a função logarítmica. Observe o que acontece no Applet acima quando [math]a[/math] se aproxima de 1.