[justify]A área dos polígonos regulares podem ser determinadas em função do número de lados e seu comprimento em relação a medida da apótema de cada polígono regular a ser analisado, no entanto, se escrevermos a medida da apótema em função da medida do lado e a tangente do ângulo associado, metade do ângulo central, é possível obter a medida da área de qualquer polígono regular sabendo apenas o número de lados e seu comprimento.[br][br]Em outras palavras, podemos calcular a área de qualquer polígono regular através da expressão:[/justify][center][br][math]A_{pol}=\frac{n\times l^2}{4\times tg\left(\frac{180^o}{n}\right)}[/math][br][/center][br][justify]Experimente a implementação modificando o número de lados [b]n[/b] e na sequência ao modificar o comprimento do lado, [b]l[/b], do polígono regular.[/justify][justify][br]Nesta aplicação podemos observar a relação entre a medida dos lados dos polígonos regulares e a medida do ângulo central quando calculamos sua área em função do número de lados e da medida do ângulo central da circunferência circunscrita no polígono regular.[/justify]

Para reproduzir a construção é só seguir os passos:[br][br][b]Parte I[/b][br][list=1][*]Clique em [b]Controle Deslizante[/b] e na janela de visualização, nomeie o controle de [b]n [/b]com valores no intervalo de 3 a 30 e incremento 1;[/*][*]Com o [b]Controle Deslizante[/b], construa o controle [b]l [/b]no intervalo de 1 a 3 e incremento 0.5; [/*][*]Clique em [b]Segmento com Comprimento Fixo[/b] e clique na janela de visualização, defina comprimento para [b]l[/b]; [/*][*]Clique em [b]Polígono Regular[/b], na sequência nos pontos deste segmento. Defina o número de vértices para [b]n[/b];[/*][*]Clique em [b]Círculo definido por Três Pontos[/b], e selecione os vértices do polígono regular, para construir a circunferência que circunscreve o polígono; [/*][*]Selecione a ferramenta [b]Ponto Médio ou Centro[/b] e clique sobre o círculo para marcar seu centro;[/*][*]Trace a reta [b]Mediatriz[/b] clicando sobre um dos lados do polígono;[/*][*]Marque o [b]Segmento[/b] chamado de apótema, para isso clique sobre o centro do círculo e o ponto de intersecção da mediatriz com o lado do polígono e renomeio de ap;[/*][*]Oculte a reta mediatriz clicando sobre ela com a ferramenta [b]Exibir/Esconder Objeto[/b] selecionada, ou clique com o botão direito do mouse e desmarque a opção de exibição do objeto;[/*][*]Clique em [b]Texto[/b] e digite na caixa de texto a expressão: A_{pol}=\frac{n\cdot l\cdot a_p}{2}, configurado com fonte Serif e Fórmula LaTeX;[/*][*]Em outra caixa de [b]Texto [/b]digite novamente a expressão anterior, substituindo os valores de [b]n[/b], [b]l[/b] e [b]a_p[/b] pelos respectivos valores armazenados no GeoGebra, para isso clique em avançado e depois na logo do aplicativo localize estes termos; [/*][*]No [b]Campo de Entrada [/b]digite Area = (n*l*a_p)/(2) para retornar o valor da área;[/*][*]Na caixa de [b]Texto[/b] digite A_{pol} = Area, substituindo Area pelo termo correspondente na logo do GeoGebra;[/*][/list][center]Para determinar a área do polígono regular inscrito na circunferência utilizamos a expressão a seguir, obtida da área anterior ao substituir a medida do apótema em função da metade do ângulo central do polígono regular de [b]n [/b]lados. [br][br][br][math]A_{pol}=\frac{n\times l^2}{4tg\left(\frac{180^o}{n}\right)}[/math][br][br]Lembrete: [math]a_p=\frac{l}{2tg\left(\frac{a_{central}}{2}\right)}[/math]  e [math]a_{central}=\frac{360°}{n}[/math] . Logo, [math]a_p=\frac{l}{2tg\left(\frac{180°}{n}\right)}[/math][br][/center][b]Parte II[/b][br][list=1][*]Construa o triângulo utilizando um dos vértices do polígono, o centro da circunferência e o lado da apótema, desabilite o rótulo dos lados deste triângulo e define com uma cor distinta do polígono regular, tipo azul, por exemplo;[/*][*]Marque o ângulo [b]alpha [/b]com vértice no centro da circunferência e interno ao triângulo anterior;[/*][*]Digite na caixa de [b]Texto[/b] a expressão A_{pol}=\frac{n\cdot l^2}{4tg(\frac{180°}{n})} com formatação em Serif e LaTeX;[/*][*]Em outra caixa de [b]Texto[/b] digite a expressão do item anterior, substituindo as variáveis [b]n[/b], [b]l[/b] por seus correspondentes do GeoGebra;[/*][*]Na próxima caixa de [b]Texto[/b] adicione a expressão anterior substituindo o ângulo da tangente pela medida de alpha, como segue: A_{pol}=\frac{n\cdot l^2}{4tg(alpha)};[/*][*]Na sequência digite no [b]Campo de Entrada[/b] a expressão Areatg = (n*l^2)/(4 tg(180°/n));[/*][*]Para finalizar adicione a caixa de [b]Texto[/b] para exibir o resultado da área digitando a expressão A_{pol}= Areatg, onde o termo Areatg é selecionado em Avançado – GeoGebra.[/*][/list]Com esta construção ainda é possível comparar com a área da circunferência circunscrita ao polígono regular, quando o mesmo possui [b]n[/b] lados. [br][br]Manipulando o número de lados podemos determinar a área dos polígonos regulares definido no intervalo de [b]3 a 30 [/b]lados. Ao ampliarmos o intervalo para valores superiores a 30 nos aproximaremos ainda mais da medida da área da circunferência circunscrita ao polígono regular.