このワークシートは[url=https://www.geogebra.org/m/twxxx3yq]Math by Code[/url]の一部です。[br][br]これまで、1次元のつぶ波を学んできた。[br][br]今回は3次元のつぶ波、具体的には球対称な井戸型ポテンシャルを学ぼう。[br]3次元の座標系はデカルト座標と球面座標があるね。[br]球面座標は動径ｒ、ｘｙ平面角φ、ｚ角θの3変数でとらえることができるけれど、[br]ポテンシャルエネルギーが球対称ならば、パラメータで方程式が分解できそうだね。

ハミルトン演算子をHとすると、[br]1次元のシュレーディンガー方程式（固有方程式、微分方程式）は[br][math]i\hbar\frac{∂}{∂t}ψ＝Hψ[/math]　 。[br]つぶ波ψ（ｘ、ｔ）について、[b]^H=-[/b][math]\frac{\hbar^2}{2m}[/math][b] ∂[sup]2[/sup]/∂x[sup]2[/sup]＋V（ｘ、ｔ）[br][/b][br]つぶ波ψ（ｒ、ｔ）について、[b]^H=-[/b][math]\frac{\hbar^2}{2m}[/math][b] ∇[/b][sup]2[/sup][b]＋V（ｒ、ｔ）（ｒは位置ベクトル、∇²はラプラシアン）[br][/b][br]だから、3次元空間のつぶ波ψ（x,y,z,t)について、[b]^H=-[/b][math]\frac{\hbar^2}{2m}[/math][b] (∂[/b][sup]2[/sup]/∂x[sup]2[/sup]+∂[sup]2[/sup]/∂y[sup]2[/sup]+∂[sup]2[/sup]/∂z[sup]2[/sup])+[b]V(x,y,z)[br][br][color=#0000ff]球対称な場では、ポテンシャルエネルギーはV(r)とおける。[/color][br]つぶ波ψ（r,θ,φ,t)については、[b]^H=-[/b][math]\frac{\hbar^2}{2m}[/math][b] ∇[/b][sup]2[/sup][b]＋V（r）（ｒは動径、∇²はラプラシアン）[br]となるでしょう。[br][/b][br][/b]ｘ＝ｒsinθcosφ、ｙ＝ｒsinθcosφ、ｚ＝rcosθ、r＝sqrt(x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]+z[sup]2[/sup])と変数を置き換えると、[br]∂ψ/∂x=∂r/∂x・∂ψ/∂r＋∂θ/∂x・∂ψ/∂θ＋∂φ/∂x・∂ψ/∂φ[br]∂ψ/∂y=∂r/∂y・∂ψ/∂r＋∂θ/∂y・∂ψ/∂θ＋∂φ/∂y・∂ψ/∂φ[br]∂ψ/∂z=∂r/∂z・∂ψ/∂r＋∂θ/∂z・∂ψ/∂θ＋∂φ/∂z・∂ψ/∂φ[br]∂[sup]2[/sup]ψ/∂x[sup]2[/sup]=[∂r/∂x・∂/∂r＋∂θ/∂x・∂/∂θ＋∂φ/∂x・∂/∂φ](∂ψ/∂x)[br]∂[sup]2[/sup]ψ/∂y[sup]2[/sup]=[∂r/∂y・∂/∂r＋∂θ/∂y・∂/∂θ＋∂φ/∂y・∂/∂φ](∂ψ/∂y)[br]∂[sup]2[/sup]ψ/∂z[sup]2[/sup]=[∂r/∂z・∂/∂r＋∂θ/∂z・∂/∂θ＋∂φ/∂z・∂/∂φ](∂ψ/∂z)[br]と6本の式ができるね。[br][br]３×３＝９個の偏微分がわかれば、ラプラシアンの変数変換ができるはずだ。[br]9個の偏微分結果は、[br](∂r/∂x、∂θ/∂x、∂φ/∂x)=(sinθcosφ、cosθcosφ/r, -sinθ/rsinθ）[br](∂r/∂y、∂θ/∂y、∂φ/∂y)=(sinθsinφ、cosθsinφ/r , cosθ/rsinθ）[br](∂r/∂z、∂θ/∂y、∂φ/∂z)=(scosφ、 -sinφ/r, 0）[br]これらを先の6本の式に代入整理すると、[br]∂[sup]2[/sup]/∂x[sup]2[/sup]＝∂[sup]2[/sup]/∂r[sup]2[/sup]+2∂/r∂r＝1/r (∂[sup]2[/sup]/∂r[sup]2[/sup])r[br]∂[sup]2[/sup]/∂y[sup]2[/sup]＝1/r[sup]2[/sup][1/sinθ（∂/∂θ（sinθ　∂/∂θ）)] ,[br]∂[sup]2[/sup]/∂z[sup]2[/sup]＝1/r[sup]2[/sup][1/sin[sup]2[/sup]θ（∂[sup]2[/sup]/∂φ[sup]2[/sup])][br]となるので、[br]∇[sup]2[/sup]=1/r (∂[sup]2[/sup]/∂r[sup]2[/sup])r+1/r[sup]2[/sup][1/sinθ（∂/∂θ（sinθ　∂/∂θ）)]+1/r[sup]2[/sup][1/sin[sup]2[/sup]θ（∂[sup]2[/sup]/∂φ[sup]2[/sup])][br][br]これから、[br][b]^H=-[/b][math]\frac{\hbar^2}{2m}[/math][b] {[/b]1/r (∂[sup]2[/sup]/∂r[sup]2[/sup])r+1/r[sup]2[/sup][1/sinθ（∂/∂θ（sinθ　∂/∂θ）)]+1/r[sup]2[/sup][1/sin[sup]2[/sup]θ（∂[sup]2[/sup]/∂φ[sup]2[/sup])]}+V(r)[br][br]

[b][size=150]＜パラメータを動径とその他に分離しよう＞[/size][/b][br]つぎはパラメータをｒとそれ以外で分離しよう。[br]ψ(r,θ,φ)=R(r)Y(θ,φ）とおく。[br]これを先のハミルトニアンのシュレーディンガー方程式に代入しよう。[br][[math]\frac{\hbar^2}{2m}[/math] {1/r (∂[sup]2[/sup]/∂r[sup]2[/sup])r+1/r[sup]2[/sup][1/sinθ（∂/∂θ（sinθ ∂/∂θ）)]+1/r[sup]2[/sup][1/sin[sup]2[/sup]θ（∂[sup]2[/sup]/∂φ[sup]2[/sup])]}+V(r)]RY=-ERY[br]分配してから、非偏微分の定数扱いを前に出す。[br]Y[{1/r (∂[sup]2[/sup]/∂r[sup]2[/sup])rR]+R{1/r[sup]2[/sup][1/sinθ（∂/∂θ（sinθ ∂/∂θ）)]Y+1/r[sup]2[/sup][1/sin[sup]2[/sup]θ（∂[sup]2[/sup]/∂φ[sup]2[/sup])Y}=-[math]\frac{2m}{\hbar^2}[/math]{E-V(r)}RY[br]各項にr[sup]2[/sup]/RYをかける。[br]1/R[{1/r (∂[sup]2[/sup]/∂r[sup]2[/sup])rR]+1/Y{1/r[sup]2[/sup][1/sinθ（∂/∂θ（sinθ ∂/∂θ）)]Y+1/r[sup]2[/sup][1/sin[sup]2[/sup]θ（∂[sup]2[/sup]/∂φ[sup]2[/sup])Y}=-[math]\frac{2m}{\hbar^2}[/math]{E-V(r)}r[sup]2[/sup][br]左辺をｒ関係、右辺を角度関係に分離し、これが等しいので定数λとおく。[br]r/R (∂[sup]2[/sup]/∂r[sup]2[/sup])rR]＋[math]\frac{2m}{\hbar^2}[/math]r[sup]2[/sup]{E-V(r)} ＝ ー1/Y{[1/sinθ（∂/∂θ（sinθ ∂/∂θ）)]Y+[1/sin[sup]2[/sup]θ（∂[sup]2[/sup]/∂φ[sup]2[/sup])Y}＝λ。[br][br][b]動径の方程式はR/r^2をかけて、[br][color=#0000ff]1/r ∂[sup]2[/sup]/∂r[sup]2[/sup](rR)＋{[/color][/b][math]\frac{2m}{\hbar^2}[/math][b][color=#0000ff]{E-V(r)} ーλ/r[sup]2[/sup]}R=0[br][/color][br][size=150]角の方程式はYをかけて、[br][color=#0000ff]1/sinθ（∂/∂[b][color=#0000ff]θ[/color][/b](sinθ ∂/∂θ(Y)) + 1/sin[sup]2[/sup]θ (∂[sup]2[/sup]/∂φ[sup]2[/sup](Y))+λY=0[br][/color][/size][/b][br][b][size=150]＜角のパラメータをθとφに分離しよう＞[br][br][/size][/b]つぎはパラメータをY=s(θ)f(φ）とおき、角の方程式に代入しよう。[br]1/sinθ（∂/∂(sinθ ∂/∂θ(sf)) + 1/sin[sup]2[/sup]θ (∂[sup]2[/sup]/∂φ[sup]2[/sup](sf))+λsf=0[br]非偏微分の定数扱いを前に出す。[br]f/sinθ（∂/∂θ(sinθ ∂/∂θ(s)) + s/sin[sup]2[/sup]θ (∂[sup]2[/sup]/∂φ[sup]2[/sup](f))+λsf=0[br]各項にsin[sup]2[/sup]θ/sfをかける。[br]sinθ（∂/∂θ(sinθ ∂/∂θ(s)) 1/s+ 1/f (∂[sup]2[/sup]/∂φ[sup]2[/sup](f))+λsin[sup]2[/sup]θ=0[br]左辺をθ関係、右辺をφ関係に分離し、これが等しいので定数M[sup]2[/sup]とおく。[br]sinθ（∂/∂θ(sinθ ∂/∂θ(s)) 1/s +λsin[sup]2[/sup]θ=-1/f (∂[sup]2[/sup]/∂φ[sup]2[/sup](f))＝M[sup]2[/sup][br]・θについてはs/sin[sup]2[/sup]θをかけて、s=s(θ）の方程式[br][b]　１/sinθ（∂/∂θ(sinθ ∂/∂θ(s)) +[λ- M[sup]2[/sup]/[sup] [/sup]sin[sup]2[/sup]θ]s＝0 [br][/b]・φについては、ｆをかけて、　f(φ）の方程式は[br][b]　 (∂[sup]2[/sup]/∂φ[sup]2[/sup](f))＋ｆM[sup]2[/sup]＝０[br][/b]これで、角についても方程式を分離できたね。

[justify][b][size=150]＜東経φの方程式からｆの波＞[br][/size][/b][/justify][size=100][justify]　 ∂[sup]2[/sup]/∂φ[sup]2[/sup](f)＋ｆM[sup]2[/sup]＝０[br]　[b][color=#0000ff]ｆ(φ)=Aexp(iMφ） A=1/sqrt(2π）[/color]Mは整数　[/b][br]　とする2π周期でくるくる回る波だ。[br]　Mは[b]磁気量子数[/b]という。[br][b][/b][/justify][size=150][left][/left][/size][/size][size=150][left][b][br]＜北極からの南緯θの方程式からｓの波＞[br][color=#0000ff]　１/sinθ（∂/∂θ(sinθ ∂/∂θ(s)) +[λ- M[sup]2[/sup]/sin[sup]2[/sup]θ]s＝0 [br][/color][/b]　z＝cosθに戻して、[br] [b][color=#0000ff]s(θ)=P[/color][/b][sup][b][color=#0000ff]M[/color][/b][/sup][b][color=#0000ff](z)[/color][/b]とおくと、[br]　d/dz[ (1-z[sup]2[/sup])d/dz(P[sup]M[/sup](z))]+[ λ- M[sup]2[/sup]/(1-z[sup]2[/sup])]P[sup]M[/sup](z)=0[br]　ルジャンドルの微分方程式になる。[br][b][color=#0000ff] λ=l(l+1)で、lが非負整数とすると、[br][/color][/b]　ルジャンドル多項式P_l(z)=1/2^l *l! (z^2-1)^(l) l階微分したもの[br]P_0(z)=1, [br]P_1(z)=1/2(z^2-1)'=z, [br]P_2(z)=1/4*2![ (z^2-1)^2]^(2)=1/8 (z^4-2z^2+1)''=1/8(12z^2-4)=1/2(3z^2-1)[br].........[br]　ルジャンドル関数P^M_l(z)が解となる。[br]　m=abs(M)＜＝lとするとき、[br][size=100][/size]　[b][color=#0000ff]P^M_l(z)=(1-z^2)^(m/2) * d^m/dz^m (P_l(z))[/color][/b][br]　例えば、[br] P^0_1(z)=(1-z^2)^0/2 *P_1(z)=z[br] P^1_1(z)=(1-z^2)^1/2 *P_1(z)'=sqrt(1-z^2) z'[br] P^0_2(z)=(1-z^2)^0/2 * P_2(z)=1/2(3z^2-1) [br] P^1_2(z)=(1-z^2)^1/2 * P_2(z)'=sqrt(1-z^2) 1/2(3z^2-1)'=sqrt(1-z^2) 3z[br] P^2_2(z)=(1-z^2)^2/2 * P_2(z)''=(1-z^2)1/2(3z^2-1)''=(1-z^2)3[br] だから、[br]　P^0_1(cosθ)=cosθ[br]　P^1_1(cosθ)=sqrt(1-cos^2θ) (cosθ)'= sinθ(-sinθ)=-sin^2θ[br]　P^0_2(cosθ)=1/2(3cosθ^2-1)[br]　P^1_2(cosθ)=sinθ (3cosθ)=3sinθcosθ[br]　P^2_2(cosθ)=3sin^2θ[/left][/size][size=150][left][/left][b]＜ｆとｓのまとめて、球面の波を１つの式Ｙにする＞[/b][/size][br]Mが整数、lが非負の整数のとき、[br]m=abs(M), ε=if(M>0, (-1)^M, 1)とするとき、角度関係の解は次のようになります。[br][color=#0000ff][b]Y^M_l(θ,φ)=N^M_l s(θ）f(φ）[br]＝ε sqrt[(2l+1)/4π * (l-m)!/(l+m)!] P^M_l(cosθ) exp(iMφ)[br][/b][/color]たとえば、[br]Y^0_1=sqrt(3/4π*1!/1!) P^0_1(cosθ)exp(i0 )= sqrt(3/4π) cosθ[br]Y^1_1=-sqrt(3/4π*0!/2!) P^1_1(cosθ)exp(i1φ )=- sqrt(3/4π*2) [-sin^2θ] exp(i φ)=sqrt(3/8π) sin^2θ exp(i φ)[br]Y^0_2=sqrt(5/4π*2!/2!) P^0_2(cosθ)exp(i0 )= sqrt(5/4π) 1/2(3cosθ^2-1)[br]Y^1_2=-sqrt(5/4π*1!/3!) P^1_2(cosθ)exp(i1φ )=- sqrt(5/4π*6) 3sinθcosθ exp(i φ)[br] =-sqrt(15/8π) sinθcosθ exp(i φ)[br]Y^2_2=sqrt(5/4π*0!/4!) P^2_2(cosθ)exp(i2φ )= sqrt(5/4π*24) 3sin^2θ exp (i 2φ)[br] = sqrt(45/96π) sin^2θ exp (i 2φ)=sqrt(15/32π) sin^2θ exp (i 2φ)[br][br][b][size=150]＜球面のつぶ波Ｙ＞[/size][/b][br]さっきみたように、球面の解、つぶ波はY^M_l(θ,φ）となったね。[br]これを球面調和関数と呼んだりする。発散せずに、おとなしく球面で振動を繰り返すから調和してる。[br]Mはｚ軸をくるくる回る磁気の量子数だった。Ｍは[b][color=#0000ff]磁気量子数[/color]。[/b][br]ｌの正体は[b]角運動量演算子[/b]を導入するとわかる。[br]角運動量Lは古典論理では、動径ｒと運動量ｐの外積L=ｒ×ｐだった。[br]これを量子化した演算子で置き換えると、[br]3次元座標は(x,y,z) ⇒ （ x,y,z）[br]3次元運動量は(px,py,pz) ⇒ ‐ [math]i\hbar[/math](∂/∂x、∂/∂y、∂/∂z）だった。極座標に直すを[br]^Lx=y^pz-z^py＝- [math]\frac{\hbar}{i}[/math](sinφ ∂/∂θ　+ cotθ cosφ∂/∂φ）[br]^Ly=z^px-x^pz=　 [math]\frac{\hbar}{i}[/math](cosφ ∂/∂θ　- cotθ sinφ∂/∂φ）[br]^Lz=x^py-y^px=‐ [math]\frac{\hbar}{i}[/math] ∂/∂φ[br][b]これから^L^2=^Lx^2+^Ly^2+^Lz^2[br] =......= -[/b][math]\hbar^2[/math][b][1/sinθ ∂/∂θ（sinθ　∂/∂θ）＋i/sin[sup]2[/sup]θ）∂[sup]2[/sup]/∂φ[sup]2[/sup]][br][/b][br][b][size=150]ここで、もともとの角の方程式を思い出そう。[br][color=#0000ff]1/sinθ（∂/∂[b][color=#0000ff]θ[/color][/b](sinθ ∂/∂θ(Y)) + 1/sin[sup]2[/sup]θ (∂[sup]2[/sup]/∂φ[sup]2[/sup](Y))+λY=0[br][/color][/size][/b][br][size=150][color=#0000ff][b]^L[/b][b]^2/( -[/b][math]\hbar^2[/math][b]) Y+λY＝０となるね。[br]つまり、[br][/b][size=150][color=#0000ff]^L^2[b]Y=[/b][size=150][color=#0000ff][math]\hbar^2[/math] λ[b]Y （λ=l(l+1) lは非負の整数）[br][/b][/color][/size][/color][/size][/color][/size]^L^2の固有方程式の解、固有関数が[b]Yになっていて、[size=150][math]\hbar^2[/math] l(l+1)が固有値だということ。[br][/size][/b]また同様に、^Lzｆ‗M＝M [math]\hbar[/math] f_Mでもある。（計算は略）[br]Y=s(θ)f(φ）としたのだから、[br]Yは^Lzの固有関数でもあり、そのときM [math]\hbar[/math] が固有値になっている。[br]言い換えると、角運動量状態を表す量子数M,lによって、球面のつぶ波Yが完全に決まる。[br]L=1のとき、固有値はhbar 1(1+1)=2hbarだから、これが運動量演算子の2乗値となる。[br]これから、運動量の大きさがhbarの√２＝1.414倍で、ｚ成分が0, ±hbarのどれかになるから、方向が[br]限定される。[br]これから、ｌは[b][color=#0000ff]方向量子数[/color][/b]と呼ばれることになった。

動径の方程式は次回に回します。いよいよ、3次元の波が具体化されるでしょう。[br][br]でも、その前に、３Ｄの波のイメージトレーニングだけは、しておきたい。[br][b][size=150][br]＜節について＞[/size][/b][br]φ（ｘ）＝sin(nπx/a) ｘ軸の[0,a]区間の波です。[br]1次元の波線の節は点でした。山と谷の境目の点ですね。[br]山または谷を腹と呼ぶことにする。[br]節の点数は、[b]腹の数の和ー１[/b]になるね。[br][br]φ（ｘ）φ（ｙ）＝sin(nπx/a) sin(nπｙ/a) ｘｙ平面[0,a]×[0,a]領域の波です。[br]2次元の波面の節は山と谷の境目直線です。[br]ｘの腹が１、ｙの腹が１なら節は０本[br]ｘの腹が２、ｙの腹が１なら節は１本[br]ｘの腹が３、ｙの腹が１のとき節は2本[br]ｘの腹が２、ｙの腹が２で順に山、谷、山、谷と中心を1周するときは、4本の節分が中央に集まり2本。[br]だから、節の本数は[b]ｘ腹＋ｙ腹－２[/b]になるね。[br][br]φ（ｘ）φ（ｙ）φ(z)　＝sin(nπx/a) sin(nπｙ/a) sin(nπｚ/a) ｘｙz空間[0,a]×[0,a]×[0,a]領域の波です。[br]３次元の波体の節は湧と吸の境の面となるかな。[br]ｘ、ｙ、ｚの腹の数が１，１，１なら節は０面[br]腹の数が２、１、１なら、ｘ方向に湧きと吸いの２つの固まりがあり節は1面。[br]３，１，１なら例えば、吸い、湧き、吸いの３つのグミがｘ方向にならぶ。節は２面。[br]２，２，１なら、ｚ軸をかこんで、吸い、湧き、吸い、湧きの４つのグミが並ぶ。節は2面。[br]２，２，２なら、3次元に吸い、湧きが交互に８つのグミが並ぶ。節は３面。[br]だから、節の面数は[b]ｘ腹＋ｙ腹＋ｚ腹ー３[/b][br][br]球面調和関数Ｙというつぶ波の節はどうなっているか。[br]磁気量子数 M と方位量子数 l が、つぶ波の「節（ふし）」の数を支配しています。[br] 中心からの距離 ｒ が一定の球面上で、つぶ波がどのように分布しているのでしょう。[br]l（方位量子数）は、球面上にある「節の線の総数」を決めます。 lが増えるほど、模様が細かくなります。M（磁気量子数）は、その節のうち、何本が「縦方向（経線）」であるかを決めます。[br]残りの l-m本は「横方向（緯線）」の節になります。[br][br][b][size=150]＜エネルギーの和と縮重について＞[/size][/b][br]さて、最初に極座標を扱ったときに変数分離ができるから計算できる（カンタンというわけではない）[br]という方針で進んできたね。[br]つぶ波の式をそれぞれの[b][color=#0000ff]パラメータのつぶ波の積[/color][/b]で表すことができた。[br]くわしくは省きますが、[br]3次元の井戸型（xが[0,a],yが[0,b],zが[0,c]の範囲だけポテンシャルが０で、他では無限大の障壁）では[br]x,y,z軸の方向のつぶ波の腹の数をnx, ny, nzとし、途中で変わらない量をkとしておく。[br]つぶ波のエネルギーは[br][b]Enx＝ｋ(nx/a)^2, [br]Eny=k(ny/b)^2,[br]Enz=k(nz/c)^2[br][/b]となり、[br][b][color=#0000ff]つぶ波全体のエネルギーはEnx,ny,nz=Enx + Eny +Enzと和になる[/color][/b]という法則がある。[br]ｎはエネルギー準位だ。[br]カンタンな例では、上にある、1辺aの立方体に閉じ込められたつぶ波では、[br]もちろん、(nx,ny,nz)=(2,2,1),(2,1,2),(1,2,2)ではエネルギーの和はｋ(a)^2(4+4+1)=9ｋ(a)^2で等しくなる。[br]だから、このエネルギーレベル９に３つの異なるが対称的な状態、向きを変えただけが詰まっている。[br]このように、[b]量子数、腹の数の組み合わせが違う状態が同じエネルギーの高さにあるとき、それらの状態を縮合（しゅくごう）[/b]しているという。[br][br]（例）[br]2次元でb=a=1の正方形のとき[br](nx,ny)=(3,1),(1,3)は９のエネルギーレベルで縮合している。[br]（例）[br]3次元でa=b=c=1の正方形のとき[br](nx,ny,nz)=(1,1,2),(1,2,1),(2,1,1)は６のエネルギーレベルに縮合しているね。[br]（例）[br]3次元でa=1,b=c=2の正方形のとき[br](nx,ny,nz)=(3,1,2),(3,1,2)のように、ｙ、ｚの量子数を入れ替えても量子数について対称だから、縮合するね。[br][br][br][b][color=#9900ff][u][size=150]課題：腹と節の関係をgeogebraで視覚化してみよう。[br][/size][/u][/color][/b][br]2次元のsurface関数を使うと、山と谷がカンタンにかけます。[br]nx=slider(1,5,1)[br]ny=silder(1,5,1)[br]surface(s,t, sin(nx pi x /4) sin(ny pi y/4), s ,-2,2, t,-2,2)としましょう。[br]スライダーはグラフィックビューにはりつけ、数式と上下に配置し、[br]残り半分で、空間図形のビューにつぶ波の曲面が表示されるようにするといいですね。