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Trefferwahrscheinlichkeiten untersuchen – Wie beeinflussen n und p die Binomialverteilung?
Einstieg: Trefferwahrscheinlichkeiten beim Basketball
Eine Basketballspielerin trifft einen Freiwurf mit der Wahrscheinlichkeit p. Sie wirft insgesamt n-mal.[br]Untersuche, wie die Parameter n und p die Verteilung der möglichen Trefferzahlen beeinflussen.
1. Aufgabe: Wie wirkt sich die Trefferwahrscheinlichkeit p aus?
Eine Basketballspielerin führt 50 Freiwürfe aus. Die Anzahl der Würfe bleibt während der Untersuchung gleich, also gilt[size=100][size=150] [math]n=50[/math].[/size][/size][br][br]Mit dem Regler kannst du die Trefferwahrscheinlichkeit p verändern. [br][br]Untersuche nacheinander die Trefferwahrscheinlichkeiten [math]p=0,2[/math], [math]p=0,5[/math], [math]p=0,8[/math].[br]
a) Wahrscheinlichste Trefferzahl
Stelle nacheinander die Trefferwahrscheinlichkeiten [math]p=0,2[/math], [math]p=0,5[/math] und [math]p=0,8[/math] ein. Lies jeweils am Säulendiagramm ab, bei wie vielen Treffern der höchste Balken liegt.[br][math]p=0,2[/math]: ______ Treffer[br]
[math]p=0,5[/math]: ______ Treffer
[math]p=0,8[/math]: ______ Treffer
b) Veränderung der Trefferzahlen
Vergleiche die Verteilungen für [math]p=0,2[/math],[math]p=0,5[/math] und [math]p=0,8[/math].[br]Was passiert mit den besonders wahrscheinlichen Trefferzahlen, wenn die Trefferwahrscheinlichkeit p größer wird?
c) Vergleich der Verteilungen
Vergleiche die Binomialverteilungen für [math]p=0,2[/math] und [math]p=0,8[/math]. [br]Welche Gemeinsamkeit erkennst du in ihrer Form?
Erkenntnisse zur Trefferwahrscheinlichkeit p
Formuliere eine allgemeine Regel: [br]Wie verändert sich die Binomialverteilung bei gleichbleibender Anzahl der Würfe [math]n[/math], wenn die Trefferwahrscheinlichkeit [math]p[/math] größer wird?
2. Aufgabe: Wie wirkt sich die Anzahl der Würfe n aus?
[size=100][size=150]Die Trefferwahrscheinlichkeit bleibt nun konstant bei [math]p=0,5[/math]. [/size][/size][br][br]Verändere mit dem Regler die Anzahl der Freiwürfe [math]n[/math] und untersuche nacheinander [math]n=10[/math], [math]n=50[/math], [math]n=100[/math].[br]
a) Wahrscheinlichste Trefferzahl
Stelle nacheinander [math]n=10[/math], [math]n=50[/math] und [math]n=100[/math] ein. Lies jeweils am Säulendiagramm ab, welche Trefferanzahl jeweils die größte Wahrscheinlichkeit besitzt.[br][math]n=10[/math]: ______ Treffer[br]
[math]n=50[/math]: ______ Treffer
[math]n=100[/math]: ______ Treffer
b) Veränderung der Verteilung
Was passiert mit den besonders wahrscheinlichen Trefferzahlen, wenn die Anzahl der Würfe [math]n[/math]größer wird?
Erkenntnisse zur Anzahl der Würfe n
Formuliere eine allgemeine Regel: [br]Wie verändert sich die Binomialverteilung bei gleichbleibender Trefferwahrscheinlichkeit [math]p[/math], wenn die Anzahl der Würfe [math]n[/math] größer wird?
Verteifungsaufgabe
In dieser Grafik werden zusätzlich der Erwartungswert [math]μ[/math] und die Standardabweichung [math]σ[/math] angezeigt. Verändere [math]n[/math] und [math]p[/math]und beobachte die Verteilung.
a) Erwartungswert und Lage
Verändere [math]n[/math] und [math]p[/math] und beobachte dabei den Erwartungswert [math]μ[/math] .[br]Welche Beziehung erkennst du zwischen dem Erwartungswert und der Lage der Verteilung?
b) Standardabweichung und Breite
Wähle verschiedene Werte für [math]n[/math] und [math]p[/math] und beobachte die Standardabweichung [math]σ[/math].[br]Wie hängt die Größe von [math]σ[/math] mit der Breite der Verteilung zusammen?
c) Gleicher Erwartungswert – gleiche Verteilung?
Finde zwei verschiedene Einstellungen für [math]n[/math] und [math]p[/math], bei denen der Erwartungswert gleich groß ist.[br]Vergleiche die beiden Verteilungen. Sind sie gleich? Begründe mithilfe der Standardabweichung.[br][br][br]Tipp: [br]˙uɥǝz =d⋅u ʇıɯ uǝƃunllǝʇsuıǝ ıǝʍz ǝɥɔns[br]