Trigonometria - Verso il teorema della corda

Sergio Cardillo, Mar 23, 2020

Un libro che raccoglie le attività necessarie per comprendere l'enunciato e la dimostrazione di uno dei teoremi fondamentali della trigonometria e i suoi corollari: il teorema della corda.

Table of Contents

  1. Angoli al centro e angoli alla circonferenza
    1. Angoli alla circonferenza
    2. Angoli al centro
    3. Corrispondenza tra angoli al centro e alla circonferenza
  2. Teoremi sugli angoli al centro e alla circonferenza
    1. Relazione tra angoli al centro e alla circonferenza corrispondenti
    2. Angoli di un quadrilatero inscrivibile in una circonferenza
  3. Teorema della corda e suoi corollari
    1. Il teorema della corda

1.

Angoli al centro e angoli alla circonferenza

Le definizioni degli elementi fondamentali per comprendere e studiare il teorema della corda.

  • 1. Angoli alla circonferenza
  • 2. Angoli al centro
  • 3. Corrispondenza tra angoli al centro e alla circonferenza

1.1.

Angoli alla circonferenza

Definizione di angolo alla circonferenza
Si dice [color=#1e84cc][b]angolo alla circonferenza[/b][/color] un angolo [b]convesso[/b] che ha il [b]centro su una circonferenza[/b] e i due lati [i]secanti [/i]oppure [i]uno secante e uno tangente[/i] alla stessa circonferenza.
Arco associato ad un angolo alla circonferenza
I lati dell'[b][color=#1e84cc]angolo alla circonferenza[/color][/b] incontrano quest'ultima in due punti, che sono estremi di un'[b][color=#333333]arco[/color][/b].[br]Diciamo che l'[b][color=#1e84cc]angolo alla circonferenza[/color][/b] sottende l'[b][color=#333333]arco[/color][/b] [i]AB[/i] o che l'[b][color=#1e84cc]angolo alla circonferenza[/color][/b] insiste sull'[b]arco[/b] AB. Viceversa, l'[b]arco[/b] [i]AB[/i] è sotteso dall'angolo alla circonferenza.
Trascina i punti [i]A[/i] e [i]B[/i] lungo la circonferenza o sposta il punto [i]C[/i] lungo l'[b]arco[/b] [i]AB[/i] per far variare l'ampiezza o la posizione dell'[color=#1e84cc][b]angolo alla circonferenza[/b][/color].
Trascina i punti [i]A[/i] e [i]B[/i] lungo la circonferenza per far variare l'ampiezza dell'[color=#1e84cc][b]angolo alla circonferenza[/b][/color].[br]Che cosa succede se sposti il punto [i]C[/i] lungo l'[b]arco[/b] [i]AB?[/i]
La risposta alla domanda precedente è una conseguenza della corrispondenza tra [color=#1e84cc][b]angoli alla circonferenza[/b][/color] ed [b][color=#38761d]angoli al centro[/color][/b].
– Sergio Cardillo

1.2.

–

1.3.

–

2.

Teoremi sugli angoli al centro e alla circonferenza

Alcuni teoremi importanti che riguardano gli angoli al centro e alla circonferenza, la relazione tra angoli corrispondenti e alcune conseguenze interessanti (e che sfrutteremo in seguito).

  • 1. Relazione tra angoli al centro e alla circonferenza corrispondenti
  • 2. Angoli di un quadrilatero inscrivibile in una circonferenza

2.1.

Relazione tra angoli al centro e alla circonferenza corrispondenti

Teorema
Ogni [b][color=#1e84cc]angolo alla circonferenza[/color][/b] è congruente alla metà dell'[color=#38761d][b]angolo al centro[/b][/color] ad esso corrispondente.
Usa i pulsanti di navigazione in basso per elencare i diversi passaggi della dimostrazione.
Un caso particolare
Prova a trascinare il punto [i]B[/i] in modo che sia compreso tra [i]A[/i] e [i]C'[/i]. In questo caso i due triangoli [b][color=#f1c232]AOC[/color][/b] e [b][color=#ff00ff]AOB[/color][/b] risultano sovrapposti. Come si adatta la dimostrazione in questo caso?
– Sergio Cardillo

2.2.

–

3.

Teorema della corda e suoi corollari

Abbiamo richiamato tutte le definizioni e i teoremi necessari per comprendere l'enunciato del teorema della corda e i passaggi logici della sua dimostrazione. Oltre al teorema della corda, questo capitolo presenta anche i corollari più importanti da esso derivati.

  • 1. Il teorema della corda

3.1.

Il teorema della corda

Teorema della corda
La lunghezza di una qualsiasi [color=#a61c00][b]corda [/b][/color]di una circonferenza è uguale al prodotto tra il diametro e l'[b][color=#1e84cc]angolo alla circonferenza[/color][/b] sotteso dalla corda.
Al volo
Quanto misura la corda di una circonferenza di raggio 4 cm se essa insiste su un angolo alla circonferenza di [math]\frac{2}{3}\pi[/math]?
– Sergio Cardillo

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