Torricellis Trompete

Reinhard Schmidt, Jul 6, 2022

In diesem Buch geht es um einen trompetenförmigen Körper, an dem Evangelista Torricelli, bekannt als Erfinder des Barometers, im 17. Jahrhundert merkwürdige Entdeckungen gemacht hat. Diesen Körper bezeichnet man heute als Torricellis Trompete oder auch als Gebriels Horn. In der Sprache der Mathematik: Es wird der Rotationskörper untersucht, der sich ergibt, wenn der Graph von [math]f[/math] mit [math]f(x)=\frac{1}{x}[/math] für [math]x \geq 1[/math] um die [math]x[/math]-Achse rotiert.

Table of Contents

  1. Rote Trompeten - von Herolden und Narren
    1. Rote Trompeten
  2. Lang und länger: Torricellis Trompete
    1. Torricellis Trompete
    2. Halb voll oder unendlich leer?
  3. Torricellis Trompete bunt anmalen
    1. Die Oberfläche der Trompete
    2. Unglaublich, aber wahr
  4. Unverstehbar? Ein Blick auf 1/x
    1. Die Suche nach der Ursache

1.

Rote Trompeten - von Herolden und Narren

In diesem Kapitel lernst du eine mathematische Modellierung einer Heroldstrompete kennen.

  • 1. Rote Trompeten

1.1.

Rote Trompeten

Im Bild siehst du eine mittelalterliche Trompete (so wie sie damals gelegentlich die Herolde hatten). Sie ist 80 cm lang und kann mit Hilfe des Funktionsgraphen von [math]f[/math] mit [math]f\left(x\right)=\frac{1}{x}[/math] modelliert werden. Wenn wir 1 dm als eine Einheit wählen, können wir uns vorstellen, dass der Graph von [math]f[/math] im Intervall von 1 bis 9 um die [math]x[/math]-Achse rotiert: Dabei entsteht die Trompete.
Aufgabe 1 - mit roter Farbe füllen
Das Mittelalter war nicht nur die Zeit der Herolde, sondern auch die Zeit der Narren. Daher stellen wir uns nun vor, dass wir die komplette Trompete mit roter Farbe füllen wollen.[br]Berechne, wie viel Farbe hinein passt.[br][br][i]Hinweis: Um dies zu berechnen, musst du wissen, wie man das Volumen von Rotationskörpern berechnet. [url=https://www.youtube.com/watch?v=supmQmrgfPU]In diesem Video[/url] eine Formel hierfür hergeleitet.[br][br][/i]Gib die Größe des Volumens, gerundet auf zwei Nachkommastellen, in das Textfeld ein:
Aufgabe 2 - mit roter Farbe anmalen
Etwas weniger hanebüchen wäre es, die Trompete mit roter Farbe anzumalen. Berechne die Fläche, die gestrichen werden muss.[br][br]Für die Berechnung benötigst du die Formel für die Oberfläche eines Rotationskörpers: [i][math]V=2\pi\cdot\int_a^bf\left(x\right)\sqrt{1+\left(f'\left(x\right)\right)^2}dx[/math]. [br][/i][i][i]Hinweis: [/i]Eine kurze Herleitung kann man z.B. hier: [url=https://www.frassek.org/3d-mathe/rotationsk%C3%B6rper/mantelfl%C3%A4che/]https://www.frassek.org/3d-mathe/rotationsk%C3%B6rper/mantelfl%C3%A4che/[/url] nachlesen.[/i][br][br]Eine händische Berechnung ist nicht ganz unkompliziert. Daher kannst du die Berechnung im folgenden Feld vom Rechner ausführen lassen.[br]Drei Hinweise zur Bedienung bzw. zu den Befehlen: [br][list=1][*]Um die Zahl [math]\pi[/math] einzugeben, kannst du einfach [code]pi[/code] ins Engabefeld schreiben.[/*][*]Einen Wurzelterm kannst du mit [code]sqrt( <Radikant> )[/code] eingeben.[/*][*]Die Schreibweise für das Integral ist: [code]Integral( <Integrand>, <Startwert>, <Endwert> )[/code][br][/*][/list]
Gib hier deine Lösung ein - wieder gerundet auf zwei Nachkommastellen:
Aufgabe 3 - Farbverbrauch
Berechne nun: Wenn die Farbe eine reale Dicke von 1 mm (0,01 dm) hat, wie viel Liter Farbe bräuchte man für den Anstrich? [br](Hinweis: Volumen der Schicht ≈ Oberfläche ⋅ Dicke).
– Reinhard Schmidt

2.

Lang und länger: Torricellis Trompete

In diesem Kapitel bestimmen wir das Volumen von Torricellis Trompete, also einer unendlich langen Trompete, erst numerisch und dann exakt.

  • 1. Torricellis Trompete
  • 2. Halb voll oder unendlich leer?

2.1.

Torricellis Trompete

Vom Herold zur Unendlichkeit: Torricellis Trompete
Bisher haben wir eine reale, 80 cm lange Trompete betrachtet. Doch was passiert, wenn wir die Grenzen der Physik verlassen?[br]Wenn wir den Graphen von [math]f(x)=​\frac{1}{x}[/math] nicht bei [math]x=9[/math] abschneiden, sondern theoretisch bis ins Unendliche weiterlaufen lassen, entsteht ein faszinierendes Gebilde. In der Mathematik ist dieses Objekt als Torricellis Trompete (benannt nach ihrem Entdecker Evangelista Torricelli) oder auch als Gabriels Horn bekannt.[br][br]Bevor wir uns über die unendliche Länge wundern, untersuchen wir eine ganz praktische Frage:[br]Wie viel Farbe passt in ein Horn, das niemals aufhört?[br]Intuitiv würde man sagen: „Dann passt auch unendlich viel Farbe hinein!“[br]In dieser Aktivität untersuchen wir genau das.
Vergrößere die Trompete mit dem Schieberegler für b immer weiter.[br]Beobachte im Algebra-Fenster, wie sich das Volumen V verändert:[list=1][*]von [math]x=1[/math] bis [math]x=10[/math][/*][*]von [math]x=1[/math] bis [math]x=100[/math][br][/*][*]von [math]x=1[/math] bis [math]x=1000[/math][/*][*]von [math]x=1[/math] bis [math]x=10000[/math][/*][/list]
Eine Vermutung
Beobachte, wie sich das Volumen von Torricellis Trompete verändert, und gib eine begründete Prognose für den Fall ab, in dem [math]x[/math] unendlich groß ist, dass die Trompete also unendlich lang ist.[br]Gibt es eine Grenze oder wächst das Volumen über alle Maße?
– Reinhard Schmidt

2.2.

–

3.

Torricellis Trompete bunt anmalen

In diesem Kapitel wirst du einem erstaunlichen Phänomen begegnen. Torricelli, der dieses zuerst veröffentlicht hatte, konnte es selbst nicht glauben.

  • 1. Die Oberfläche der Trompete
  • 2. Unglaublich, aber wahr

3.1.

Die Oberfläche der Trompete

Nachdem wir festgestellt haben, dass das Volumen von Torricellis Trompete endlich ist, soll nun untersucht werden, wie viel Farbe man benötigen würde, wenn man sie anmalen wollte:[br]Es soll die Oberfläche der Trompete berechnet werden.[br]Hier ist die Formel für die Oberfläche:[math]O=2\pi\cdot\int_a^{^b}f\left(x\right)\sqrt{1+\left(f'\left(x\right)\right)^2}dx[/math]. [br]Eine kurze Herleitung kann man z.B. hier: [url=https://www.frassek.org/3d-mathe/rotationsk%C3%B6rper/mantelfl%C3%A4che/]https://www.frassek.org/3d-mathe/rotationsk%C3%B6rper/mantelfl%C3%A4che/[/url] nachlesen.
Es soll untersucht werden, wie viel Farbe man benötigt, um Torricellis Trompete (auch bekannt als "Gabriels Horn") anzumalen.[br]Dafür soll nacheinander berechnet werden, wie groß die Oberfläche der Trompete ist im Bereich [br][list=1][*]von [math]x=1[/math] bis [math]x=2[/math][/*][*]von [math]x=1[/math] bis [math]x=10[/math][br][/*][*]von [math]x=1[/math] bis [math]x=100[/math][/*][*]von [math]x=1[/math] bis [math]x=1000[/math][/*][/list]Gib einen Schätzwert für die Oberfläche der gesamten Trompete an.
– Reinhard Schmidt

3.2.

–

4.

Unverstehbar? Ein Blick auf 1/x

In diesem Kapitel wird die Funktion [math]f[/math] mit [math]f(x) = \frac{1}{x}[/math] und insbesondere die Fläche, die der Funktionsgraph mit der [math]x[/math]-Achse einschließt, genauer untersucht.

  • 1. Die Suche nach der Ursache

4.1.

Die Suche nach der Ursache

Im Applet oben siehst du einen Ast des Graphen der Funktion [math]f[/math] mit [math]f\left(x\right)=\frac{1}{x}[/math].[br]Ermittle den Inhalt der Fläche zwischen Graph und [math]x[/math]-Achse im Intervall von 1 bis 2.[br]
Ermittle den Inhalt der Fläche zwischen Graph und [math]x[/math]-Achse im Intervall [br] (a) von 1 bis 10,[br] (b) von 1 bis 100,[br] (c) von 1 bis 1000.[br]
In den letzten drei Rechnungen wird ein Muster deutlich.[br][list=1][*]Beschreibe dieses Muster.[/*][*]Weise deine obige Vermutung rechnerisch nach.[/*][/list]
Begründe (z.B. mit der obigen Erkenntnis), dass der Inhalt der Fläche zwischen Graph und [math]x[/math]-Achse im Intervall von 1 bis unendlich keinen endlichen Wert haben kann.
– Reinhard Schmidt

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