Lezione 1 - y= cosx approssimazione della funzione coseno con un polinomio intorno a zero
[br][br]Vogliamo approssimare, in un intorno di x=0, la funzione y= cosx con un polinomio.[br][br]Ripassiamo le proprietà della funzione y= cosx[br][list][*]La funzione [math]y=cosx[/math] ha come dominio tutti i reali, come codominio l'insieme [math][-1,+1][/math][/*][*]E' una funzione periodica di periodo [math]2\pi[/math] [/*][*]La funzione [math]y=cosx[/math] è una funzione pari[/*][/list][br]Per rispettare la simmetria della funzione, anche l’approssimazione deve essere fatta con un [b]polinomio pari[/b] (cioè con solo potenze pari: [math]x^o[/math], [math]x^2[/math], [math]x^4[/math], [math]x^6[/math], ...) perchè avrebbe la stessa proprietà di simmetria.[br]Un polinomio con termini dispari romperebbe questa simmetria, quindi le proprietà della funzione coseno. [br]Disegna con geogebra la funzione coseno.
la funzione [math]y=cosx[/math] è una funzione [b]pari[/b]. Giustifica la risposta da un punto di vista analitico e grafico
da un punto di vista grafico , la funzione è simmetrica rispetto all'asse delle ordinate[br]da un punto di vista algebrico f(-x)=f(x)
Quanto vale y=cosx in x=0?[br]Scrivi in modo formale la risposta
[list][*]Approssimiamo, in un intorno di [math]x=0[/math], la funzione [math]y=cosx[/math] con un polinomio di grado zero (primo polinomio di grado pari). Un polinomio di grado 0 è semplicemente una [b]retta orizzontale[/b]: ovvero [math]P_0\left(x\right)=q[/math] e se calcoliamo il [b]polinomio di grado 0 in[/b][math]x=0,[/math] abbiamo [math]P_0\left(0\right)=q[/math] , quindi la retta sarà [math]y=q[/math].[/*][/list]Ci chiediamo quale potrebbe essere il il valore di [math]q[/math] che renda l'approssimazione della funzione [math]y=cosx[/math] la migliore possibile. Consideriamo che dobbiamo approssimare la funzione coseno in un intorno di [math]0[/math] e che conosciamo il valore della funzione coseno nel punto [math]x=0[/math]. [br][br]Per valutare il valore di [math]q[/math] e quanto l'approssimazione della funzione y=cosx con un polinomio di grado zero sia "buona", possiamo procedere con: [br][list][*]una valutazione intuitiva, utilizzando Geogebra, dalla quale determiniamo il valore di [math]q[/math] (valore che probabilmente hai già ricavato dalle considerazioni precedenti)[/*][*]una valutazione algebrica dell'approssimazione , utilizzando un foglio di calcolo[/*][/list][br]Usa geogebra:[br]1. Inserisci la funzione [math]y=cosx[/math];[br]2. Inserisci il Polinomio [math]P_0\left(x\right)=q[/math]. In automatico verrà inserito uno slider. Muovi lo slider per definire il valore esatto di [math]q[/math]
Ti sembra che il polinomio [math]P_0\left(x\right)=1[/math], rappresenti una buona approssimazione della funzione y= cosx intorno a x=0?[br]Dove ti sembra comincino a separarsi?
Dopo aver dato una risposta, completa la tabella presente nel foglio elettronico del file di geogebra che segue, inserendo opportune formule nelle celle del foglio di calcolo; nella tabella sono visualizzati i valori con 5 cifre decimali. [br]Nella prima colonna sono stati inseriti alcuni valori, sempre più "vicini" allo zero. Nella seconda colonna vengono calcolati i rispettivi valori del coseno e nella terza colonna vengono determinati i valori delle [b]distanze CP[/b] (|[math]\left|y_C-y_P\right|[/math]) , che possono fornire una indicazione del grado di approssimazione tra le due curve: più la distanza CP tra le due curve è piccola più è buona l'approssimazione. [br]
Usando geogebra costruisci la visualizzazione della distanza che c'e tra la funzione [math]y=cos\left(x\right)[/math] e il polinomio approssimante al variare delle [math]x[/math] prese in un intorno di [math]x=0[/math]. [br]N.B. devi:[list=1][*]traccia la funzione coseno [math]y=cos\left(x\right)[/math];[/*][*]traccia la funzione polinomiale [math]y=1[/math];[/*][*]traccia la retta [math]x=a[/math];[/*][*]si introdurrà automaticamente uno slider che mi farà variare le[math]x[/math] scelte; [/*][*]visualizzare, con il comando intersezione, i punti C e P che appartengono rispettivamente alle due funzioni e corrispondenti alla [math]x[/math] scelta;[/*][*]visualizzare il segmento CP che rappresenta la distanza tra tali punti;[/*][*]visualizzare il valore numerico di tale distanza;[/*][*]muovi P e osserva come varia la distanza tra Ce P[/*][/list]
Siccome la funzione y= cosx è pari, il polinomio che potrebbe migliorare l'approssimazione dovrebbe essere di 2° grado. Aggiungiamo al polinomio di grado 0 , un termine di secondo grado. Tenedo conto della concavità della funzione di y =cosx intorno a x=0, che segno dovrebbe avere il termine aggiuntivo di secondo grado? Inserisci il polinomio di 2° grado e chiama b il coefficiente del termine di secondo grado.
Ti sei reso conto che non è semplice determinare il valore di b, a parte il suo segno, [br]Procediamo facendoci aiutare da un semplice foglio di calcolo. L'idea è la seguente: determiniamo il valore di [math]b[/math] ( coefficiente del termine di secondo grado del polinomio) seguendo un ragionamento molto semplice : [br] [br][list][*]Prendiamo un valore di [math]x[/math] abbastanza vicino allo zero, per esempio [math]x=0,2[/math][/*][*] calcoliamo la funzione coseno in [math]x=0,2[/math]: [math]y=cos\left(0,2\right)[/math] [/*][/list][list][*] calcoliamo il valore del Polinomio di 2° grado in [math]x=0,2[/math] : [math]P_2\left(0,2\right)=1+b\left(0,2\right)^2[/math][/*][*]ricaviamo [math]b[/math] risolvendo la seguente equazione : [math]P_2\left(0,2\right)=cos\left(0,2\right)[/math][/*][/list]se risolviamo, rispetto ad [math]b[/math] l'equazione [math]1+b\left(0,2\right)^2=cos\left(0,2\right)[/math], otterremo [math]b=(cos(0,2)-1)/(0,2)^2[/math], [math]b=0,49834[/math] [br][br]Se ripeti la stessa procedura per un valor di [math]x[/math] che si avvicina ulteriormente a 0, otterrai un valore di [math]b[/math] sempre più vicino al valore che ti permette di approssimare meglio la funzione coseno con un polimonio [math]P_2(x)[/math]. Usa il foglio excel per ricavare [math]b[/math] (con un'approssimazione di cinque cifre decimali) per i seguenti valori :[math]x=0,1[/math] ;[math]x=0,01;x=0,001;x=0,0001;x=0,00001[/math].[br]Ricorda che per inserire una formula in una cella del foglio di calcolo, devi inserire inizialmente il simbolo di uguaglianza e che nella formula devi inserire gli indirizzi delle celle e non il valore che vedi in esse contenuto. In questo modo potrai copiare le formule in altre celle. [br]
In seguito alle valutazioni fatte scrivi di seguito il polinomio approssimante, inserendo [math]b[/math] come numero frazionario
Il polinomio che potrebbe migliorare l'approssimazione deve essere di 4° grado. Aggiungiamo perciò al polinomio precedente di grado 2° , un termine di quarto grado. [br]Chiamiamo il nuovo polinomio approssimante : [math]P_4\left(x\right)=1-\frac{1}{2}x^2+cx^4[/math][br][br]Per determinare il valore del coefficiente [math]c[/math] del termine di secondo grado , possiamo fare anche qui valutazioni di diversa natura:[br][list][*]una valutazione intuitiva, usando Geogebra[/*][*] una valutazione algebrica[/*][*]una valutazione di natura geometrica (una valutazione globale), ovvero, scegliendo un intorno di zero non troppo piccolo e minimizzando l'area sottesa tra il polinomio e la funzione coseno, usando Geogebra[/*][/list]
Usa Geogebra: [br][list=1][*]inserisci la funzione coseno [math]y=cos(x)[/math];[/*][*]inserisci il polinomio [math]P_4\left(x\right)=1-\frac{1}{2}x^2+cx^4[/math][br][/*][*]si crea automaticamente uno slider [math]c[/math] [/*][/list]Per capire quale potrebbero essere il segno e il valore di [math]c[/math], fai dei tentativi, variando il valore dello slider . Ricordati che puoi anche "animare" lo slider , regolando la velocità del movimento, per osservare meglio la posizione reciproca tra il polinomio e la funzione. [br]
[list=1][*] Ti sembra sia possibile stabilire quale sia il segno di [math]c[/math]? [/*][*]ti sembra possibile stabilire, anche in modo approssimativo , quale sia il valore di [math]c[/math] ? [/*][/list]
Ti sarai reso conto che, pur variando il valore dello slider, sembrerebbe non semplice capire l'esatto valore del coefficiente [math]c[/math]. [br]Analizziamo un altro tipo di valutazione:[br]
L'idea è la seguente: determiniamo il valore di [math]c[/math] ( coefficiente del termine di 4°grado del polinomio) seguendo un ragionamento molto semplice : [br] [br][list][*]Prendiamo un valore di [math]x[/math] abbastanza vicino allo zero, per esempio [math]x=0,2[/math][/*][*] calcoliamo la funzione coseno in [math]x=0,2[/math]: [math]y=cos\left(0,2\right)[/math] [/*][/list][list][*] calcoliamo il valore del Polinomio di 4° grado in [math]x=0,2[/math] : [math]P_4\left(0,2\right)=1-\frac{1}{2}\left(0,2\right)^2+c\left(0,2\right)^4[/math][/*][*]ricaviamo [math]c[/math] risolvendo la seguente equazione : [math]P_4\left(0,2\right)=cos\left(0,2\right)[/math][/*][/list]se risolviamo, rispetto ad c l'equazione [math]1-\frac{1}{2}\left(0,2\right)^2+c\left(0,2\right)^4=cos\left(0,2\right)[/math], otterremo [math]c=0,416112[/math] [br][br]Se ripeti la stessa procedura per un valore di [math]x[/math] che si avvicina ulteriormente a 0, otterrai un valore di [math]c[/math] sempre più vicino al valore che ti permette di approssimare meglio la funzione coseno con un polimonio [math]P_4(x)[/math]. Usa il foglio excel per ricavare [math]c[/math] (con un'approssimazione di almeno cinque cifre decimali) per i seguenti valori :[math]x=0,1[/math] ;[math]x=0,01;x=0,001;x=0,0001;x=0,00001[/math][br]
In seguito alle valutazioni fatte su [math]c[/math] indica il valore di [math]c[/math] sotto forma di frazione algebrica e scrivi il polinomio di 4° grado, [math]P_4\left(x\right)[/math] che meglio approssima, in[math]x=0[/math], la funzione coseno:
Passiamo ad un altro tipo di valutazione, basato sull'area sottesa tra le due funzioni in un intervallo fissato. L'idea sulla quale si basa questa valutazione è che "più le due funzioni sono vicine", più l'area "racchiusa" tra le due funzioni è piccola; man mano che le due funzioni si avvicinano l'area diminuisce.[br][br]Per questo tipo di valutazione , utilizziamo Geogebra: [br][list][*]Inserisci le due funzioni: la funzione esponenziale [math]y=cosx[/math]e il polinomio [math]P_4(x)=1-\frac{1}{2}x^2+cx^4[/math]. [/*][*]Scegli un intorno di 0, per esempio [math]-1\le x\le1[/math] , [/*][*]usa il comando di Geogebra che si chiama [b]IntegraleTra, [/b] [math]IntegraleTra(f,P_4(x),-1,1)[/math] per determinare l'area racchiusa tra le due funzioni nell'intervallo scelto. [/*][/list]
Ti sembra che l'"idea" possa funzionare? ti sembra che la valutazione di c sia più accurata?
Dalla valutazione algebrica puoi dedurre il valore di [math]c[/math]. Scrivi tale valore decimale anche in forma frazionaria:
Confronta i polinomi usati per approssimare la funzione coseno intorno a [math]x=0[/math]:[br][math]P_0(x)=1[/math];[br][math]P_2(x)=1-\frac{1}{2}x^2[/math];[br][math]P_4(x)=1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{24}x^4[/math];[br][br]aggiungiamo altri polinomi approssimanti per aiutarti nelle osservazioni:[br][br][math]P_6(x)=1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{24}x^4-\frac{1}{720}x^6[/math];[br][br][math]P_8(x)=1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{24}x^4-\frac{1}{720}x^6+\frac{1}{40320}x^8[/math][br] [br]...[br][br]Come avrai notato, man mano che aumenta il grado del polinomio, l'approssimazione migliora. In altre parole: [br][b]1)[/b] [b]il grafico del polinomio “tocca” quello di [math]y=cosx[/math] in [math]x=0[/math] con un contatto sempre più accurato man mano che aumenta il grado del polinomio approssimante. [br][b]2) l’approssimazione è particolarmente buona vicino a x=0[/b] e l’intervallo in cui il polinomio approssima bene la funzione [b]si allarga aumentando il grado[/b].[/b][br]Ma quale altra osservazione si potrebbe fare?
[list][*][b]Confronta i polinomi usati per approssimare la funzione coseno intorno a [math]x=0[/math]:[br][br][math]P_0(x)=1[/math];[br][math]P_2(x)=1-\frac{1}{2}x^2[/math];[br][math]P_4(x)=1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{24}x^4[/math];[br][br][math]P_6(x)=1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{24}x^4-\frac{1}{720}x^6[/math];[br][br][math]P_8(x)=1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{24}x^4-\frac{1}{720}x^6+\frac{1}{40320}x^8[/math][br] [br]...[br][/b][/*][/list][list][*][b]1) Che segno hanno i termini dei polinomi? Scrivi delle osservazioni.[/b][/*][/list]
[b][b]Confronta i polinomi usati per approssimare la funzione coseno intorno a [math]x=0[/math]:[br][br][math]P_0(x)=1[/math];[br][math]P_2(x)=1-\frac{1}{2}x^2[/math];[br][math]P_4(x)=1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{24}x^4[/math];[br][br][math]P_6(x)=1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{24}x^4-\frac{1}{720}x^6[/math];[br][br][math]P_8(x)=1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{24}x^4-\frac{1}{720}x^6+\frac{1}{40320}x^8[/math][br] [br]...[/b][/b][list=1][*][b]Qual è la potenza di [math]x[/math] più alta che compare in [math]P_0(x)[/math]?[/b][br][br][/*][*][b]Qual è la potenza più alta in [math]P_2(x)[/math]?[/b][br][br][/*][*][b]Qual è la potenza più alta in [math]P_4(x)[/math]?[/b][br][br][/*][*][b]Che relazione c’è tra il numero del polinomio [math]P_n\left(x\right)[/math] e la potenza più alta di [math]x[/math]?[/b][/*][*][b]Quali potenze di [math]x[/math] compaiono nel polinomio [math]P_4(x)[/math]?[/b][/*][*][b]Mancano potenze tra [math]x^0[/math] e [math]x^4[/math]?[/b][br][/*][/list]
Scrivi per esteso il polinomio approssimante [math]P_{12}(x)[/math]. utilizzando tutte le osservazioni fatte precedentemente
Per la funzione coseno, [b] viene lasciato a te [/b]il compito di scrivere il polinomio [math]P_{12}(x)[/math] in forma sintetica![br][br]Ricordiamo alcune [b]osservazioni[/b] fatte precedentemente: [br][list][*][size=100][size=200][size=150]Lo sviluppo polinomiale del coseno prevede [b]solo le potenze pari [/b]in ordine crescente, [/size][/size][/size][/*][*] i segni dei termini sono [b]alternati;[/b][/*][*][b]i denominatori [/b]possono essere scritti utilizzando l'operatore fattoriale.[/*][/list]
1. l'affermazione [b]“solo potenze pari” [/b]significa descrivere tutti i numeri pari con un [b]indice[/b]. Quale? [br] [br]2. E come puoi scrivere la potenza [b]generica [/b] che compare nel polinomio approssimante?[br][br]
Abbiamo già osservato la sequenza dei segni nello sviluppo del polinomio approssimante.[br][br] [img width=101,height=22]data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAGUAAAAWBAMAAAAr5E+TAAAAAXNSR0IArs4c6QAAACRQTFRFAAAAAAAAADqQOpDbZgA6kDoAkNv/tmZm25A62/////+2///bNuiSOAAAAAF0Uk5TAEDm2GYAAAAJcEhZcwAADsQAAA7EAZUrDhsAAAAZdEVYdFNvZnR3YXJlAE1pY3Jvc29mdCBPZmZpY2V/7TVxAAAAUElEQVQ4T2NgGAXAEOAwQA8GwiKEVWCaO3j1bBUEAk1gKBDNUKBzuG2FxRGYAQpJPCKEVWCaAtWzJAGaFsAMkD14RKBKy2DJhxjGaI5jYAAAKTgdqLK7WgQAAAAASUVORK5CYII=[/img] ....[br]che equivale alla seguente sequenza: [br][br] [img width=113,height=22]data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAHEAAAAWCAMAAADAUYMAAAAAAXNSR0IArs4c6QAAAEVQTFRFAAAAAAAAADo6ADqQOgAAOpDbZgAAZgA6Zjo6ZpC2ZpDbZrb/kDoAkGY6kNv/tmZm25Bm27Zm2/+22////9uQ//+2///bG+k0XgAAAAF0Uk5TAEDm2GYAAAAJcEhZcwAADsQAAA7EAZUrDhsAAAAZdEVYdFNvZnR3YXJlAE1pY3Jvc29mdCBPZmZpY2V/7TVxAAAAkklEQVRIS+2UyQqAMAxE477vtv//qQqKjEog1oAHm1NhXjIhbUPkw0/AdQK2qbhUlPSwIQ44R5T0sL4YU8YRJVXMcI5EKCliiqXW9yCphoytgz2i6ZKuiEm6EjYvxL5ytHVy/5VbM5uE5wv5CKM5Xy8uLPeyp1Io6WGHhclabvOg9B47XDrWkFB6j7kuY5/38wksAhMNRona1/IAAAAASUVORK5CYII=[/img]....[br]che equivale a:[br][br] [img width=202,height=22]data:image/png;base64,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[/img][br][br]Qual è una potenza [b]generica[/b], con base -1, che produce questa sequenza?[br][br]
Utilizza geogebra per visualizzare il polinomio approssimante. [br]Segui le seguenti istruzioni:[br][list][*]inserisci [math]y=cosx[/math][br][/*][*]inserisci il polinomio [math]P(x)[/math] nel seguente modo: usa la formula [b]somma: [/b][/*][/list]La [b]formula somma (espressione, variabile, valore iniziale, valore finale) [/b]rappresenta una sommatoria matematica (spesso indicata con il simbolo [img]data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==[/img][math]\Sigma[/math] - sigma maiuscolo), utilizzata per calcolare la somma dei valori di un'espressione al variare di una variabile tra un limite inferiore e uno superiore.[br]inserisci :[br]=somma([math]...,k,0,a[/math]) . Lasciamo a te il compito di individuare l'espressione corretta della formula; [math]a[/math] è uno slider che automaticamente comparirà, che ti permetterà di aumentare a tuo piacere i termini della somma e avere polinomi che sempre più si adagiano sulla funzione esponenziale intorno allo zero. Nelle impostazioni dello slider assegna ad [math]a[/math] come valore minimo lo zero e come valore massimo un valore alto, per esempio 50. Ti accorgerai che il polinomio con un grado alto , approssimerà molto bene la funzione esponenziale non solo in un intorno di [math]x=0[/math] [br]
[b][math]P_0(x)=1[/math];[br][math]P_2(x)=1-\frac{1}{2}x^2[/math];[br][math]P_4(x)=1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{24}x^4[/math];[br][br][math]P_6(x)=1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{24}x^4-\frac{1}{720}x^6[/math];[br][br][math]P_8(x)=1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{24}x^4-\frac{1}{720}x^6+\frac{1}{40320}x^8[/math][br] [/b][br][list=1][*]Cosa noti nei numeratori delle frazioni?[br][br][/*][*]I denominatori come cambiano?[br][br][/*][*]Che relazione c’è tra la potenza di e il numero nel denominatore?[br][br][/*][*]Qual è il denominatore del termine con ?[br][br][/*][*]Qual è quello del termine con ?[b] [/b][/*][/list]