Vi skal nå utforske to nye funksjonstyper - logaritmefunksjonen og eksponentialfunksjonen. Deretter skal vi derivere disse og drøfte sammensatte funksjoner der logaritmefunksjonen og eksponentialfunksjonen inngår.
Du skal nå finne definisjonsmengden og verdimengden til de to funksjonene
Studer funksjonene over. Hva er de mulige x-verdiene for de to funksjonene?
f(x) er definert for positive verdier av x. g(x) er definert for alle verdier
Sett opp definisjonsmengden til de to funksjonene
[math]D_f=<0,\longrightarrow>[/math][br][math]D_g=\mathbb{R}[/math]
Hva er den minste mulige verdien og den største mulige verdien til f(x) og g(x)
f(x) kan ha alle verdier mellom minus uendelig og pluss uendelig. g(x) kan ha alle verdier mellom 0 og uendelig.
Bruk svarene dine fra c) til å sette opp verdimengdene til de to funksjonene:
[math]V_f=<\longleftarrow,\longrightarrow>[/math][br][math]V_g=<0,\longrightarrow>[/math]
Vi skal nå studere sammenhengen mellom f(x) og den deriverte til funksjonen.
Huk av for f'(x) for å se den deriverte. Hvilken funksjon tror du dette er?
[math]f'\left(x\right)=\frac{1}{x}[/math]
Beskriv hvordan vekstfarten til f(x) endrer seg når x øker. Stemmer dette med hvordan f'(x) ser ut?
Vi ser fra funksjonen at vekstfarten er størst i starten. Vi ser også at vekstfarten alltid er positiv, men at den er lavere for høyere verdier av x. Dette stemmer med grafen til f'(x)
Vi skal nå studere sammenhengen mellom g(x) og den deriverte av funksjonen.
Huk av for g'(x) i feltet over. Hva ser du?
g(x) og g'(x) er identiske
Bruk animasjonen over til å undersøke sammenhengen mellom stigningtallet til funksjonen og funksjonsverdien. Oppsummer det du fant under.
Vi ser at for alle verdier av x så er g(a)=g'(a), som bekrefter det vi så tidligere.
Du skal nå bruke derivasjonsreglene [math]\left(ln\left(x\right)\right)'=\frac{1}{x}[/math] og [math]\left(e^x\right)'=e^x[/math] sammen med kjerneregelen fra sist for å derivere funksjonene under. [br][br]Kjerneregelen: [math]f\left(x\right)=g\left(u\left(x\right)\right)[/math]. Vi kaller [math]u\left(x\right)[/math] eller [math]u[/math] for kjernen og[math]g\left(x\right)[/math] for den ytre funksjonen. Da er[br][math]f'\left(x\right)=\left(g\left(u\left(x\right)\right)\right)'=g'\left(u\left(x\right)\right)\cdot u'\left(x\right)[/math][br]
Finn[math]f'\left(x\right)[/math] når [math]f\left(x\right)=2ln\left(x\right)+ln\left(3x\right)[/math]
[math]f'\left(x\right)=\left(2ln\left(x\right)\right)'+ln\left(3x\right)'=\frac{2}{x}+\frac{1}{3x}\cdot3=\frac{2}{x}+\frac{1}{x}=\frac{3}{x}[br][/math][br]Riktig svar: [math]f'\left(x\right)=\frac{3}{x}[/math]
Finn[math]f'\left(x\right)[/math] når [math]f\left(x\right)=x^2+\left(ln\left(x\right)\right)^2[/math]
[math]f'\left(x\right)=\left(x^2\right)'+\left(\left(ln\left(x\right)\right)^2\right)'=2x+2ln\left(x\right)\cdot\frac{1}{x}=2x+\frac{2ln\left(x\right)}{x}[/math][br]Riktig svar: [math]f'\left(x\right)=2x+\frac{2ln\left(x\right)}{x}[/math]
Finn [math]f'\left(x\right)[/math] når [math]f\left(x\right)=4x+2e^x[/math]
[math]f'\left(x\right)=\left(4x\right)'+\left(2e^x\right)'=4+2\left(e^x\right)'=4+2e^x[/math][br]Riktig svar: [math]f'\left(x\right)=4+2e^x[/math]
Finn [math]f'\left(x\right)[/math] når [math]f\left(x\right)=5ln\left(x\right)-4e^x[/math]
[math]f'\left(x\right)=\left(5ln\left(x\right)\right)'-\left(4e^x\right)'=5\cdot\frac{1}{x}-4e^x=\frac{5}{x}-4e^x[/math]
Finn [math]f'\left(x\right)[/math] når [math]f\left(x\right)=e^{2x}[/math]
Her må vi bruke kjerneregelen. Vi setter [math]u=2x[/math]. Da er [br][math]f'\left(x\right)=\left(e^{2x}\right)'=\left(e^{u\left(x\right)}\right)'=e^{u\left(x\right)}\cdot u'\left(x\right)=e^{2x}\cdot2=2e^{2x}[/math]
Start på oppgavene: 8.31, 8.33, 8.41, 8.43