Mértani helyes problémák

Tarcsay Tamás, Mar 18, 2019

A címben szereplő problémák azok, amelyekre vonatkozó sejtések megfogalmazásában a GeoGebra a legnagyobb hatékonysággal alkalmazható. Ezért aztán itt érdemesnek látszik ennek a gyűjteménynek a megjelentetése és folyamatos bővítgetése. Ha az olvasók közül valaki talál megjelentetésre érdemes mértani helyes problémát, az készítsen anyagot róla, azután beletehetjük ebbe a gyűjteménybe is Ugyanez vonatkozik azokra az olvasókra is, akik a közölt problémák más, szebb, egyszerűbb, jobb megoldását ismerik.

Table of Contents

  1. 1. fejezet - mértani helyek
    1. Technikai tudnivalók (48.)
    2. Egy mértani helyes probléma (30.)
    3. Közös szelőszakasz felezőpontja (38.)
    4. Legyen adott ... (39.)
    5. Rögzítsük a kör ... (37.)
    6. Egy probléma a Nemzetközi Magyar ... (12.)
    7. Adott egy körön két pont ... (20.)
    8. A sík két adott pontjával definiált ... (19.)
    9. Két egymást érintő kör (17.)
    10. Pont konjugáltja egy háromszögre vonatkozóan (2.)
    11. Szabályos háromszög - mértani hely (56.)
    12. Mh17 Kalmár László matematikaverseny feladat
    13. gyk_136 - Egy mértani helyes probléma
    14. gyk_151 - Milyen ponthalmaz?
    15. Egy mértani helyes probléma általánosítása
    16. A k pozitív szám.
    17. ntávolság
    18. 3távolság
    19. nApollóniusz:
    20. nkör:
    21. Mi a mértani helye?
    22. Mértani hely - továbbgondolás
    23. gyk_230 - Egy paraméteresen adott görbe
    24. KöMaL - B. 5155. feladata
    25. 30. Szabályos háromszög - mértani hely
    26. 30. Hogyan tanítsuk elemi geometriai környezetben?
    27. 30. általánosítás
    28. 31. Egy korábbi probléma továbbgondolása
    29. 30. Más irányú általánosítás
    30. 31. Na még tovább!
    31. 30. Kilépés a térbe - szabályos tetraéder
    32. 30. Kilépés a térbe - kocka
    33. 30. Kilépés a térbe - szabályos oktaéder
    34. 31. Kilépés a térbe - 5 pont egy gömbön
    35. 31. Kilépés a térbe - tetraéder
    36. 32. Egy mértani hely - A látszat néha csal.
    37. Mh. 35.
    38. V.5. - Eigel Ernő: Térgeometriai feldatok
    39. V.17. - Eigel Ernő: Térgeometriai feladatok
    40. V.8. - Eigel Ernő: Térgeometriai feladatok
    41. V.9. - Eigel Ernő: térgeometriai feladatok
    42. V.13. - Eigel Ernő: Térgeometriai feladatok
    43. V.20. - Eigel Ernő: Térgeometriai feladatok
    44. V.11. - Eigel Ernő: Térgeometriai feladatok
    45. V.10. - Eigel Ernő: Térgeometriai feladatok
    46. V.2. - Eigel Ernő: Térgeometriai feladatok
    47. V.6. - Eigel Ernő: Térgeometriai feladatok
    48. V.12. - Eigel Ernő: Térgeometriai feladatok
    49. V.15. - Eigel Ernő: Térgeometriai feladatok
    50. V.4. - Eigel Ernő: Térgeometriai feladatok
    51. V.22. - Eigel Ernő: Térgeometriai feladatok
    52. V.19. - Eigel Ernő: Térgeometriai feladatok
    53. II.101. - Eigel Ernő: Térgeometriai feladatok
    54. V.3. - Eigel Ernő: Térgeometriai feladatok
    55. V.16. - Eigel Ernő: Térgeometriai feladatok
    56. V.25. - Eigel Ernő: Térgeometriai feladatok
    57. V.26. - Eigel Ernő: Térgeometriai feladatok
    58. V.27. - Eigel Ernő: Térgeometriai feladatok
    59. V.28. - Eigel Ernő: Térgeometriai feladatok
    60. 20. - Eigel Ernő: Síkgeometriai feladatok
    61. 109. - Eigel Ernő: Síkgeometriai feladatok
    62. 128. - Eigel Ernő: Síkgeometriai feladatok
    63. 136. - Eigel Ernő: Síkgeometriai feladatok
    64. 173. - Eigel Ernő: Síkgeometriai feladatok
    65. 177. - Eigel Ernő: Síkgeometriai feladatok
    66. 180. - Eigel Ernő: Síkgeometriai feladatok
    67. 211. - Eigel Ernő: Síkgeometriai feladatok
    68. 213. - Eigel Ernő: Síkgeometriai feladatok
    69. 222. - Eigel Ernő: Síkgeometriai feladatok
    70. 223. - Eigel Ernő: Síkgeometriai feladatok
    71. 231. - Eigel Ernő: Síkgeometriai feladatok
    72. 238. - Eigel Ernő: Síkgeometriai feladatok
    73. 238. - Továbbgondolás
    74. 239. - Eigel Ernő: Síkgeometriai feladatok
    75. 244. - Eigel Ernő: Síkgeometriai feladatok
    76. 262. - Eigel Ernő: Síkgeometriai feladatok
    77. 283. - Eigel Ernő: Síkgeometriai feladatok
    78. Azon pontok mértani helye ...
    79. How do I find the area inside...
    80. Mértani hely keresése
    81. Egy korábbi mértani helyes probléma általánosítása
    82. Mértani helyes probléma
    83. Hiperbola, ellipszis
    84. Mértani helyes probléma
  2. 2 fejezet - Adott a síkban két pont és egy egyenes ...
    1. a)
    2. b)
    3. c)
    4. d)
    5. gyk_80 - Mértani helyes probléma
    6. Adott a síkon két pont, ... (28.)
    7. Adott a síkban ... (281.)
    8. Adott a síkban ... (282.)
    9. Adott a síkban három pont, A, B, C.
    10. Adott a síkban négy pont, A, B, C,D.
  3. 3. fejezet - Versenyfeladatok
    1. MH Nem versenyfeladat ez? - mértani helyes probléma
  4. 4. fejezet - Véletlen mértani helyek
    1. Véletlen felezőpontok

1.

1. fejezet - mértani helyek

  • 1. Technikai tudnivalók (48.)
  • 2. Egy mértani helyes probléma (30.)
  • 3. Közös szelőszakasz felezőpontja (38.)
  • 4. Legyen adott ... (39.)
  • 5. Rögzítsük a kör ... (37.)
  • 6. Egy probléma a Nemzetközi Magyar ... (12.)
  • 7. Adott egy körön két pont ... (20.)
  • 8. A sík két adott pontjával definiált ... (19.)
  • 9. Két egymást érintő kör (17.)
  • 10. Pont konjugáltja egy háromszögre vonatkozóan (2.)
  • 11. Szabályos háromszög - mértani hely (56.)
  • 12. Mh17 Kalmár László matematikaverseny feladat
  • 13. gyk_136 - Egy mértani helyes probléma
  • 14. gyk_151 - Milyen ponthalmaz?
  • 15. Egy mértani helyes probléma általánosítása
  • 16. A k pozitív szám.
  • 17. ntávolság
  • 18. 3távolság
  • 19. nApollóniusz:
  • 20. nkör:
  • 21. Mi a mértani helye?
  • 22. Mértani hely - továbbgondolás
  • 23. gyk_230 - Egy paraméteresen adott görbe
  • 24. KöMaL - B. 5155. feladata
  • 25. 30. Szabályos háromszög - mértani hely
  • 26. 30. Hogyan tanítsuk elemi geometriai környezetben?
  • 27. 30. általánosítás
  • 28. 31. Egy korábbi probléma továbbgondolása
  • 29. 30. Más irányú általánosítás
  • 30. 31. Na még tovább!
  • 31. 30. Kilépés a térbe - szabályos tetraéder
  • 32. 30. Kilépés a térbe - kocka
  • 33. 30. Kilépés a térbe - szabályos oktaéder
  • 34. 31. Kilépés a térbe - 5 pont egy gömbön
  • 35. 31. Kilépés a térbe - tetraéder
  • 36. 32. Egy mértani hely - A látszat néha csal.
  • 37. Mh. 35.
  • 38. V.5. - Eigel Ernő: Térgeometriai feldatok
  • 39. V.17. - Eigel Ernő: Térgeometriai feladatok
  • 40. V.8. - Eigel Ernő: Térgeometriai feladatok
  • 41. V.9. - Eigel Ernő: térgeometriai feladatok
  • 42. V.13. - Eigel Ernő: Térgeometriai feladatok
  • 43. V.20. - Eigel Ernő: Térgeometriai feladatok
  • 44. V.11. - Eigel Ernő: Térgeometriai feladatok
  • 45. V.10. - Eigel Ernő: Térgeometriai feladatok
  • 46. V.2. - Eigel Ernő: Térgeometriai feladatok
  • 47. V.6. - Eigel Ernő: Térgeometriai feladatok
  • 48. V.12. - Eigel Ernő: Térgeometriai feladatok
  • 49. V.15. - Eigel Ernő: Térgeometriai feladatok
  • 50. V.4. - Eigel Ernő: Térgeometriai feladatok
  • 51. V.22. - Eigel Ernő: Térgeometriai feladatok
  • 52. V.19. - Eigel Ernő: Térgeometriai feladatok
  • 53. II.101. - Eigel Ernő: Térgeometriai feladatok
  • 54. V.3. - Eigel Ernő: Térgeometriai feladatok
  • 55. V.16. - Eigel Ernő: Térgeometriai feladatok
  • 56. V.25. - Eigel Ernő: Térgeometriai feladatok
  • 57. V.26. - Eigel Ernő: Térgeometriai feladatok
  • 58. V.27. - Eigel Ernő: Térgeometriai feladatok
  • 59. V.28. - Eigel Ernő: Térgeometriai feladatok
  • 60. 20. - Eigel Ernő: Síkgeometriai feladatok
  • 61. 109. - Eigel Ernő: Síkgeometriai feladatok
  • 62. 128. - Eigel Ernő: Síkgeometriai feladatok
  • 63. 136. - Eigel Ernő: Síkgeometriai feladatok
  • 64. 173. - Eigel Ernő: Síkgeometriai feladatok
  • 65. 177. - Eigel Ernő: Síkgeometriai feladatok
  • 66. 180. - Eigel Ernő: Síkgeometriai feladatok
  • 67. 211. - Eigel Ernő: Síkgeometriai feladatok
  • 68. 213. - Eigel Ernő: Síkgeometriai feladatok
  • 69. 222. - Eigel Ernő: Síkgeometriai feladatok
  • 70. 223. - Eigel Ernő: Síkgeometriai feladatok
  • 71. 231. - Eigel Ernő: Síkgeometriai feladatok
  • 72. 238. - Eigel Ernő: Síkgeometriai feladatok
  • 73. 238. - Továbbgondolás
  • 74. 239. - Eigel Ernő: Síkgeometriai feladatok
  • 75. 244. - Eigel Ernő: Síkgeometriai feladatok
  • 76. 262. - Eigel Ernő: Síkgeometriai feladatok
  • 77. 283. - Eigel Ernő: Síkgeometriai feladatok
  • 78. Azon pontok mértani helye ...
  • 79. How do I find the area inside...
  • 80. Mértani hely keresése
  • 81. Egy korábbi mértani helyes probléma általánosítása
  • 82. Mértani helyes probléma
  • 83. Hiperbola, ellipszis
  • 84. Mértani helyes probléma

1.1.

Technikai tudnivalók (48.)

[size=85][list=1][*]A GeoGebra tananyagok appleteket tartalmaznak.[/*][*]Minden applet jobb alsó sarkán egy négyzetet tartalmazó gomb látható, erre kattintva az applet "kinyílik". Az egész képernyőt elfoglalja. Ha még egyszer kattintunk, akkor az applet visszanyeri eredeti méretét.[/*][*]Az appletek nagy részén vezérlő gombok találhatók:[br]"T" - egy előre lépés (Ha eltűnik, akkor nem lehet tovább előre lépni.)[br]"V" - egy visszalépés[br]"C" - újra kezdés[/*][*]Ha az appletek animációkat tartalmaznak, akkor az applet alján az animációt indító, és leállító gombok találhatók[/*][*]Ha nyomvonalat rajzoltatunk az appletben, akkor a kép kis mozgatásával törlődik a nyomvonal,[/*][/list][/size]
– Tarcsay Tamás

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

1.5.

–

1.6.

–

1.7.

–

1.8.

–

1.9.

–

1.10.

–

1.11.

–

1.12.

–

1.13.

–

1.14.

–

1.15.

–

1.16.

–

1.17.

–

1.18.

–

1.19.

–

1.20.

–

1.21.

–

1.22.

–

1.23.

–

1.24.

–

1.25.

–

1.26.

–

1.27.

–

1.28.

–

1.29.

–

1.30.

–

1.31.

–

1.32.

–

1.33.

–

1.34.

–

1.35.

–

1.36.

–

1.37.

–

1.38.

–

1.39.

–

1.40.

–

1.41.

–

1.42.

–

1.43.

–

1.44.

–

1.45.

–

1.46.

–

1.47.

–

1.48.

–

1.49.

–

1.50.

–

1.51.

–

1.52.

–

1.53.

–

1.54.

–

1.55.

–

1.56.

–

1.57.

–

1.58.

–

1.59.

–

1.60.

–

1.61.

–

1.62.

–

1.63.

–

1.64.

–

1.65.

–

1.66.

–

1.67.

–

1.68.

–

1.69.

–

1.70.

–

1.71.

–

1.72.

–

1.73.

–

1.74.

–

1.75.

–

1.76.

–

1.77.

–

1.78.

–

1.79.

–

1.80.

–

1.81.

–

1.82.

–

1.83.

–

1.84.

–

2.

2 fejezet - Adott a síkban két pont és egy egyenes ...

Adott a síkban két pont ([i]A, B[/i]) és egy ([i]e[/i]) egyenes. Adjuk meg az [i]ABC[/i] háromszögek ... mértani helyét, ha a [i]C[/i] végigfut az [i]e[/i]-n!

  • 1. a)
  • 2. b)
  • 3. c)
  • 4. d)
  • 5. gyk_80 - Mértani helyes probléma
  • 6. Adott a síkon két pont, ... (28.)
  • 7. Adott a síkban ... (281.)
  • 8. Adott a síkban ... (282.)
  • 9. Adott a síkban három pont, A, B, C.
  • 10. Adott a síkban négy pont, A, B, C,D.

2.1.

a)

[size=85]Adott a síkban két pont ([i]A,B) [/i]és egy ([i]e[/i]) egyenes. Adjuk meg az [i]ABC [/i]háromszögek [br][/size][size=85]a) súlypontjának[/size][br][size=85]mértani helyét, ha a [i]C[/i] végigfut az [i]e[/i] egyenesen'[/size]
Sejtés
Bizonyítás
[size=85]Legyen [i]F[/i] az [i]AB [/i]felezőpontja! A [url=https://www.geogebra.org/m/EGSJRwJz]súlypontról tanultak [/url]szerint [i]F, S, C[/i] kollineárisak és [math]\frac{FS}{FC}=\frac{1}{3}[/math][/size]. [size=85]Ebből következően a keresett mértani hely az [i]e[/i] egyenes [i]F[/i] centrumú, [math]\frac{1}{3}[/math][/size] [size=85]arányú középpontú[url=https://www.geogebra.org/m/keatptvu] középpontos hasonlósági transzformáció[/url]val kapott képe, [url=https://www.geogebra.org/m/sqQmExFD]ami[/url] [i]e[/i]-vel párhuzamos egyenes.[/size]
– Tarcsay Tamás

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

2.5.

–

2.6.

–

2.7.

–

2.8.

–

2.9.

–

2.10.

–

3.

3. fejezet - Versenyfeladatok

  • 1. MH Nem versenyfeladat ez? - mértani helyes probléma

3.1.

MH Nem versenyfeladat ez? - mértani helyes probléma

[size=85]Adott a síkon két pont ([i]B, C[/i]). Mi azon [i]A [/i]pontok mértani helye a síkban, melyekre igaz, hogy az [i]ABC [/i]szög az [i]ACB[/i] szög kétszerese?[br][/size][br][size=85]Felhasználva a [url=https://www.geogebra.org/m/zezpdthr]Száldobágyi Zsigmond által közölt tulajdonság[/url]ot, kapjuk a keresett mértani hely egyenletét.[/size]
[size=85]Ez egy [url=https://www.geogebra.org/m/zwe5uebk]hiperbola[/url] egyenlete.[/size]
Ellenőrzés képpen
– Tarcsay Tamás

4.

4. fejezet - Véletlen mértani helyek

  • 1. Véletlen felezőpontok

4.1.

Véletlen felezőpontok

A probléma:
[size=85]Legyen adott az [i]ABC[/i] háromszög, továbbá [i]P[sub]0[/sub][/i]  a sík egy tetszőleges pontja! [br]Képezzük a [i]P[sub]0[/sub][/i], [i]P[sub]1[/sub][/i], ... [i]P[sub]n-1[/sub],[/i] [i]P[sub]n[/sub],  ...[/i] pontsorozatot úgy, hogy  [i]P[sub]n [/sub][/i]legyen  a [i]P[sub]n-1[/sub]V [/i]szakasz felezőpontja, ahol [i]V[/i] a háromszög  csúcsai közül véletlenszerűen választott pont. (Ezt a választást minden lépésben megismételjük.)[br][br]Milyen megállapítások tehetők a kapott pontsorozatról?[/size][right][size=85][url=https://www.geogebra.org/u/szilassi]Dr. Szilassi Lajos[/url][/size][/right]
[size=85]Amikor először hallottam erről a problémáról, azt gondoltam, hogy a háromszöglap bármely pontja egyenlő valószínűséggel fordulhat elő a pontsorozatban. De ha ez így lenne, akkor nem lenne érdekes ez a probléma, és - bizonyára - nem említette volna meg nekem[url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Szilassi_Lajos] Szilassi tanár úr[/url]. [br][/size][size=85]Ez után arra gondoltam, hogy modellezni kellene a problémát a GeoGebrával. Akadályba ütköztem, mert nem tudtam véletlen pontsorozatot generálni. A segítség - mint ahogy szokott - a probléma felvetőjétől érkezett:[/size]
[list][*][size=85]A pontok véletlen generálását a bal alsó sarokban levő gombra kattintva lehet elindítani. [/size][/*][*][size=85]A generálást ugyanerre kattintva lehet megállítani.[/size][/*][*][size=85]A háromszög csúcsainak elmozdításával lehet újra kezdeni a pontsorozat létrehozását.[/size][/*][*][size=85]Ha türelmesek vagyunk, és elég sokáig várunk akkor eljuthatunk a sejtéshez.[/size][/*][/list]
[size=85]Ismerős az ábra, amit kaptunk? Láttunk már ilyet valahol?[/size]
Sierpinski-háromszög
[size=85][url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Sierpi%C5%84ski-h%C3%A1romsz%C3%B6g]Erről például itt is olvashatunk.[/url][/size]
Sejtés
[size=85]Annak valószínűsége, hogy vizsgált pontsorozat majdnem minden tagja eleme az [math]ABC_{\Delta}[/math][/size][size=85] [url=https://web.cs.elte.hu/blobs/diplomamunkak/bsc_mattan/2013/moor_istvan.pdf]Sierpinski-háromszög[/url]ének, 1.[/size]
[size=85]Most már "csak" a fenti sejtés bizonyítása maradt hátra ...[/size]
Gondolatok a bizonyításhoz:
[list][*][size=85]Annak valószínűsége, hogy a [math]P_n[/math] pontsorozat minden tagja az [math]ABC_{\Delta}[/math] külső pontja nulla.[/size][/*][*][size=85]Ha a sorozat egy tagja az [math]ABC_{\Delta}[/math] belső pontja, akkor az azt követő tagok mindegyike belső pont.[/size][/*][*][size=85]Ha egy csúcs és egy pont által megadott szakasz felezőpontját vesszük, akkor a csúcsra vonatkozó [math]\frac{1}{2}[/math] arányú középpontos hasonlóságot alkalmazunk.[/size][/*][*][size=85]Mi az [math]ABC[/math] háromszöglap valamelyik csúcsra vonatkozó középpontos hasonlósággal kapott képe?[/size][/*][*][size=85]Mi az így kapott kép valamelyik csúcsra vonatkozó középpontos hasonlósággal kapott képe?[/size][/*][*] [/*][*] [/*][*] [/*][*][size=85]Segíthet a következő?[/size][/*][/list]
Tóth Julianna tanárnő gondolatai a problémáról
"Négypontosítva"
– Tarcsay Tamás

Information