[justify]Essa atividade tem o objetivo de explorar o métodos geométricos que Descartes desenvolveu para resolver equações do segundo grau. Descartes propôs um método que utiliza construções geométricas para achar os valores das raízes de uma equação do segundo grau, iremos ver que o método nos permite explorar diversas propriedades das equações de segundo grau e relacionar com uma interpretação geométrica.[br][/justify]
[justify]René Descartes (1596 - 1650) nasceu em uma pequena cidade francesa, era conhecido por ter uma saúde extremamente frágil, mas isso não o limitou de desenvolver trabalhos que tivessem grande relevância para a ciência. O discurso do Método foi um dos seus principais trabalho em que Descartes fala sobre como é possível chegar em verdades dentro das ciências, através de uma sequência de passos que permitem guiar a razão com o objetivo de se conhecer algo de maneira concreta, além do texto principal esse trabalho conta com três apêndices, aqui vamos focar nas ideias apresentadas no apêndice sobre geometria. Neste apêndice sobre geometria fica claro a ideia de Descartes sobre como resolver uma equação do 2° grau poderia ser visto como um problema geométrico, este problema pode ser reduzido de forma que o conhecimento de alguns segmentos é suficiente para se encontrar a solução.[/justify]
Descartes utilizou seu método para resolver três tipos de equação do segundo grau:[br][br]Equação do tipo 1 - [math]x^2=bx+c^2[/math] [br]Equação do tipo 2 - [math]x^2=c^2-bx[/math] [br]Equação do tipo 3 - [math]x^2=bx-c^2[/math][br][br]Por exemplo, a equação [math]x^2+2x-9=0[/math] pode ser escrita como [math]x^2=3^2-2x[/math], então seria considerado por Descartes uma Equação do tipo 2.
Para equações da forma [math]x^2=bx+c^2[/math] Descartes propôs a seguinte construção:[br] 1° - Traçar o segmento LM de comprimento c.[br] 2° - Perpendicular ao segmento LM construir o segmento LN de tamanho [math]\frac{b}{2}[/math].[br] 3° - Traçar a reta que passa pelos pontos N e M.[br] 4° - Traçar a circunferência com centro em N e raio [math]\frac{b}{2}[/math].[br][br]A seguir temos representado a construção, onde os segmentos LM e LN podem ser modificados de acordo com os valores dos coeficientes [math]b[/math] e [math]c[/math] da equação.
[justify]Segundo Descartes a solução será sempre o seguimento MO. Para confirmar isso vamos chamar o seguimento MO de [math]x[/math], então o seguimento MN será [math]x-\left(\frac{b}{2}\right)[/math] utilizando o teorema de Pitágoras no triâgulo MLN temos:[br][br][br][math]\left(x-\frac{b}{^2}\right)^2=\left(\frac{b}{2}\right)^2+c^2[/math] [math]\Longrightarrow x^2-bx+\left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{b}{2}\right)^2+c^2[/math] [math]\Longrightarrow x^2-bx=c^2[/math] [math]\Longrightarrow x^2=bx+c^2[/math][br][br]Chegamos na Equação inicial do tipo 1, ou seja, MO é a solução procurada. [br][br]Descartes considerava somente a solução positiva da equação, mas o valor do modulo da segunda solução será o tamanho do seguimento PM. [/justify]
[justify]Para Equações do tipo 2 podemos utilizar a mesma construção, porém devemos mudar o sinal do seguimento MO. Então para Equações do tipo 2 [math]x=-MO[/math].[/justify]
Para da forma [math]x^2=bx-c^2[/math](tipo 3) Descartes propôs a seguinte construção:[br][br] 1° - Traçar o segmento LM de comprimento c.[br] 2° - Perpendicular ao segmento LM construir o segmento LN de tamanho [math]\frac{b}{2}[/math].[br] 3° - Traçar a circunferência com centro em N e raio [math]\frac{b}{2}[/math].[br] 4° - Traça a reta que é paralela ao seguimento LN e passa por M. [br][br]A seguir temos representado a construção, onde os segmentos LM e LN podem ser modificados de acordo com os valores dos coeficientes [math]b[/math] e [math]c[/math] da equação.
As raízes da equação serão o seguimento MO e o seguimento MP.
A seguir alguns exercícios para discutir o Método Geométrico de Descartes.
Pela classificação de Descartes a equação [math]2x^2+4x-18=0[/math] é uma equação do tipo:
O valor (aproximado) da raiz positiva da equação [math]x^2-4x-25=0[/math] é:
Equações do tipo 1 e do tipo 2 sempre terão soluções reais.
Equações do tipo 3 não terão soluções reais se [math]c^2>\left(\frac{b}{2}\right)^2[/math].
Nas equações do tipo 1 o que ocorre quando [math]b=0[/math]?
Nas equações do tipo 2 o que ocorre quando [math]c=0[/math]?
Mais informações sobre o método de Descartes e outros métodos de resolução de equações do segundo grau podem ser encontrados em: [br]DO VALE, ALBERTON FAGNO ALBINO. AS DIFERENTES ESTRATÉGIAS DE RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU. 2013. Disponível em:[url=https://ufersa.edu.br/wp-content/uploads/sites/58/2016/02/Disserta%C3%A7%C3%A3o-Alberton-Fagno.pdf] https://ufersa.edu.br/wp-content/uploads/sites/58/2016/02/Disserta%C3%A7%C3%A3o-Alberton-Fagno.pdf[/url][br]