Du hast bereits die ersten zwei Rechenregeln für Grenzwerte mit den Applets erkundet. Wahrscheinlich hast du die Regeln auch bestätigt gesehen. [b]Doch bevor man in der Mathematik Regeln allgemein gültig verwendet, müssen sie bewiesen sein.[/b][br]Alle vier Regeln werden nach dem Prinzip bewiesen, dass ab einem bestimmten [math]n_{\varepsilon}[/math] alle weiteren Werte der Folge nur noch in einer Entfernung von maximal [math]\varepsilon[/math] um den Grenzwert herum liegen (Epsillon-Schlauch).[br]Im folgenden wirst du den Beweis zu (ii) gezeigt bekommen (und kannst anschließend selber (i) beweisen, wenn du Zeit dafür hast).[br]Du solltest diesen Abschnitt sorgfältig lesen, denn Beweise sind in der Hochschulmathematik sehr wichtig!

Gegeben seien konvergente Folgen [math]\left(a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] mit Grenzwert [math]a[/math] und [math]\left(b_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] mit Grenzwert [math]b[/math]. Dann gelten folgende Aussagen:[br][br](i) Für jede Konstante [math]c\in\mathbb{R}[/math] ist die Folge [math]\left(c\cdot a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] konvergent und es gilt [math]^{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(c\cdot a_n\right)=c\cdot a[/math].[br][b](ii) Die Folge [/b][math]\left(a_n+b_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math][b] ist konvergent und es gilt [/b][math]^{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(a_n+b_n\right)=a+b[/math][b].[/b][br](iii) Die Folge [math]\left(a_n\cdot b_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] ist konvergent und es gilt [math]^{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(a_n\cdot b_n\right)=a\cdot b[/math].[br](iv) Falls alle [math]b_n\ne0[/math] sind sowie [math]b\ne0[/math] ist, so ist die Folge [math]\left(\frac{a_n}{b_n}\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] konvergent und es gilt [math]^{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=\frac{a}{b}[/math].[br]

Es sei ein beliebiges aber festes [math]\varepsilon>0[/math] vorgegeben.[br]Zu zeigen ist, dass ein [math]n_{\varepsilon}[/math] existiert für das [math]|\left(a_n+b_n\right)-\left(a+b\right)|<\varepsilon[/math] für alle [math]n\ge n_{\varepsilon}[/math] gilt.[br][br]Es ist [math]|\left(a_n+b_n\right)-\left(a+b\right)|=|\left(a_n-a\right)+\left(b_n-b\right)|\le|a_n-a|+|b_n-b|[/math] [b](*)[/b][br][br]Da die einzelnen Folgen [math]\left(a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] und [math]\left(b_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] konvergent sind, existieren [math]n_{\varrho}[/math] und [math]n_{\sigma}[/math], sodass[br][math]|a_n-a|<\varrho[/math] für alle [math]n\ge n_{\varrho}[/math] und [math]|b_n-b|<\sigma[/math] für alle [math]n\ge n_{\sigma}[/math] gilt.[br][br]Wir wählen nun [math]\varrho=\sigma=\frac{\varepsilon}{2}[/math] und als [math]n_{\varepsilon}[/math] das Maximum von [math]n_{\varrho}[/math] und [math]n_{\sigma}[/math].[br]Dann gilt [math]|\left(a_n+b_n\right)-\left(a+b\right)|\le|a_n-a|+|b_n-b|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon[/math]. q.e.d.[br][br]Nach Definition gilt [math]^{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(a_n+b_n\right)=a+b[/math].