-
Derivaatta
-
1. Muutosnopeus
- Mitä on funktion muutosnopeus?
- Suoran kulmakerroin
- Kulmakerroin kuvaa suoran muutosnopeutta
- Tehtäviä muutosnopeudesta
-
2. Derivaatta
- Derivaatta kuvaa hetkellistä muutosnopeutta
- Funktion derivaatan tutkimista
- Derivaatta erotusosamäärän raja-arvona (pitkä mat)
- Funktion derivoituvuus
-
3. Käyrän tangentti
- Käyrän tangentin määrittäminen
- Käyrien välinen kulma
This activity is also part of one or more other Books. Modifications will be visible in all these Books. Do you want to modify the original activity or create your own copy for this Book instead?
This activity was created by '{$1}'. Do you want to modify the original activity or create your own copy instead?
This activity was created by '{$1}' and you lack the permission to edit it. Do you want to create your own copy instead and add it to the book?
Derivaatta
Hannu Mäkiö, Jun 3, 2015

Lukion derivaattakurssia tukevaa materiaalia. Aluksi keskityin lyhyen matematiikan sisältöihin, nyt mukana on myös pitkän matematiikan asioita.
Table of Contents
- Muutosnopeus
- Mitä on funktion muutosnopeus?
- Suoran kulmakerroin
- Kulmakerroin kuvaa suoran muutosnopeutta
- Tehtäviä muutosnopeudesta
- Derivaatta
- Derivaatta kuvaa hetkellistä muutosnopeutta
- Funktion derivaatan tutkimista
- Derivaatta erotusosamäärän raja-arvona (pitkä mat)
- Funktion derivoituvuus
- Käyrän tangentti
- Käyrän tangentin määrittäminen
- Käyrien välinen kulma
Mitä on funktion muutosnopeus?
Muutos ja muutosnopeus
Mieti hetki, mitä tarkoitetaan muutoksella. Keksi jokin asia, jonka suuruutta voidaan esittää luvuilla. Voit ajatella lämpötilaa, jos et muuta keksi. Keksi esimerkki tai kaksi muutoksesta. Mitä voisi tarkoittaa muutoksen nopeus?
Esim. Mikko vietti aikaa kauppakeskuksessa. Kotoa lähtiessään hänellä oli 30€ ja kotiin palatessaan rahaa oli jäljellä 13 €. Paljonko kauppakeskuksessa käynti oli muuttanut Mikon käteisvaroja?
Yleisesti muutos saadaan kun lopputilasta vähennetään alkutila. Mikon tapauksessa muutos on negatiivinen, .
Esim. Aamulla kello 8.00 lämpötila oli 10 astetta ja kello 12.00 lämpötila oli 17 astetta.
a) Paljonko lämpötila muuttui?
b) Montako astetta lämpötila keskimäärin nousi tunnissa?
Ratk.
a) Lämpötilan muutos on 17 - 10 = 7 astetta
b) Aikaa lämpötilan nousuun kului neljä tuntia, jolloin keskimääräinen lämpötilanmuutos tunnissa on
Esim. Funktio .
a) Paljonko funktion arvo muuttuu siirrettäessä kohdasta kohtaan ?
b) Mikä funktion keskimääräinen muutoksen nopeus tällä välillä?
Ratk.
a) Alussa ja lopussa . Funktion arvon muutos on 10 - 2 = 8.
b) Funktion keskimääräinen muutoksen nopeus on
Tavoitteena on tarkastella, mitä tarkoitetaan hetkellisellä muutoksen nopeudella. Ennen tätä, olisi tärkeä miettiä seuraavia kysymyksiä, sillä jos keskimääräinen muutoksen nopeus pysyy samana, niin keskimääräinen muutoksen nopeus on sama asia kuin hetkellinen muutoksen nopeus.
Pohdittavaa.
Milloin funktion keskimääräinen muutoksen nopeus on nolla?
Milloin funktion keskimääräinen muutoksen nopeus on vakio?
Pohdinnassa voit ajatella vaikka pyörämatkaa esim. kotoa koululle. Funktiona on kulkemasi matka, jolloin muutoksen nopeus on sama kuin pyöräilynopeutesi ja on matkaan käytetty aika.
Seuraavassa Geogebrahavainnollistuksessa palautetaan mieliin, mikä on suoran kulmakerroin. Mieti sitä tutkiessasi, mikä yhteys suoran kulmakertoimella on muutosnopeuteen.
Derivaatta kuvaa hetkellistä muutosnopeutta
Funktion derivaatan arvo kohdassa on sama kuin funktion muutoksen nopeus kohdassa
Funktion derivaattafunktiota merkitään symbolilla . Derivaatan arvo kohdassa on . Funktion derivaattaa voidaan merkitä myös symboleilla tai .
Aikaisemman perusteella tiedämme, että vakiofunktiolle muutoksen nopeus on nolla, joten ,
missä on vakio. Suoralle muutosnopeus oli sama kuin suoran kulmakerroin. Saamme tästä derivointisäännön
Seuraavassa voit tutkia, miksi vakiofunktion derivaatta on nolla. Kuvassa on funktion kuvaaja.


Edellisen luvun viimeisessä tehtävässä tutkittiin muutosnopeutta ja tangentin kulmakerrointa. Tuloksena on, että hetkellistä muutosnopeutta
kuvaa tangentin kulmakerroin. Siis:
Muutosnopeus kohdassa on sama kuin , joka taas on sama kuin kohtaan piirretyn tangentin kulmakerroin.
Tutki tätä seuraavan Geogebrahavainnollistuksen avulla. Tähän
havainnollistukseen kannattaa palata moneen kertaan. Derivaattakurssin
keskeisin kysymys on: "Mitä derivaatta kertoo funktion kulusta?".
Käyrän tangentti
Tämä osio kuuluu lähinnä pitkään matematiikkaan. Kysymyksiä: 1) Miten määritellään funktion tangentin yhtälö, kun tiedetään piste, jossa tangentti sivuaa käyrää y=f(x)? 2) Miten määritellään funktion tangentin yhtälö, kun tangentilta tiedetään piste, joka ei ole käyrällä y=f(x)? 3) Miten määritellään kahden käyrän välinen kulma.
-
1. Käyrän tangentin määrittäminen
-
2. Käyrien välinen kulma
Käyrän tangentin määrittäminen
Tangentin piirtäminen Geogebralla
Seuraavien tehtävien tekeminen onnistuu Geogebran tangenttityökalulla
. Huomaa, jälkimmäisessä tehtävässä syötä käyrä annetussa muodossa, niin Geogebra tunnistaa käyrän paraabeliksi. Paraabelille tangenttityökalulla pystytään muodostamaan tangentti siinäkin tapauksessa, että annettu piste ei ole käyrälle.
1) Piirrä Geogebralla funktiolle kohtaan piirretty tangentti.
2) Piirrä käyrälle ne tangentit, jotka kulkevat origon kautta.

Tangenttien yhtälöiden ratkaiseminen algebrallisesti
Saving…
All changes saved
Error
A timeout occurred. Trying to re-save …
Sorry, but the server is not responding. Please wait a few minutes and then try to save again.