Mieti hetki, mitä tarkoitetaan muutoksella. Keksi jokin asia, jonka suuruutta voidaan esittää luvuilla. Voit ajatella lämpötilaa, jos et muuta keksi. Keksi esimerkki tai kaksi muutoksesta. Mitä voisi tarkoittaa muutoksen nopeus? [br][b][br]Esim.[/b] Mikko vietti aikaa kauppakeskuksessa. Kotoa lähtiessään hänellä oli 30€ ja kotiin palatessaan rahaa oli jäljellä 13 €. Paljonko kauppakeskuksessa käynti oli muuttanut Mikon käteisvaroja?[br][br]Yleisesti muutos saadaan kun lopputilasta vähennetään alkutila. Mikon tapauksessa muutos on negatiivinen, [math]13€-30€=-17€[/math]. [br][br][b]Esim. [/b]Aamulla kello 8.00 lämpötila oli 10 astetta ja kello 12.00 lämpötila oli 17 astetta. [br]a) Paljonko lämpötila muuttui?[br]b) Montako astetta lämpötila keskimäärin nousi tunnissa?[br][br]Ratk.[br]a) Lämpötilan muutos on 17 - 10 = 7 astetta[br]b) Aikaa lämpötilan nousuun kului neljä tuntia, jolloin keskimääräinen lämpötilanmuutos tunnissa on [br][math]\frac{17-10}{12-8}=\frac{7}{4}=1,75\frac{^{\circ}C}{h}[/math][br][br][b]Esim. [/b]Funktio [math]f\left(x\right)=x^2+1[/math]. [br]a) Paljonko funktion arvo muuttuu siirrettäessä kohdasta [math]x=1[/math] kohtaan [math]x=3[/math]?[br]b) Mikä funktion keskimääräinen muutoksen nopeus tällä välillä?[br][br]Ratk. [br]a) Alussa [math]f\left(1\right)=1^2+1=2[/math]  ja lopussa [math]f\left(3\right)=3^2+1=10[/math]. Funktion arvon muutos on 10 - 2 = 8.[br]b) Funktion keskimääräinen muutoksen nopeus on[br][br][math]\frac{\text{y:n muutos}}{\text{x:n muutos}}=\frac{8}{2}=4[/math][br][br]Tavoitteena on tarkastella, mitä tarkoitetaan hetkellisellä muutoksen nopeudella. Ennen tätä, olisi tärkeä miettiä seuraavia kysymyksiä, sillä jos keskimääräinen muutoksen nopeus pysyy samana, niin keskimääräinen muutoksen nopeus on sama asia kuin hetkellinen muutoksen nopeus.[br][br][br]Pohdittavaa.[br]Milloin funktion keskimääräinen muutoksen nopeus on nolla?[br]Milloin funktion keskimääräinen muutoksen nopeus on vakio?[br][br]Pohdinnassa voit ajatella vaikka pyörämatkaa esim. kotoa koululle. Funktiona [math]f\left(t\right)[/math] on kulkemasi matka, jolloin muutoksen nopeus on sama kuin pyöräilynopeutesi ja [math]t[/math]  on matkaan käytetty aika.[br][br]Seuraavassa Geogebrahavainnollistuksessa palautetaan mieliin, mikä on suoran kulmakerroin. Mieti sitä tutkiessasi, mikä yhteys suoran kulmakertoimella on muutosnopeuteen.

Funktion derivaatan arvo kohdassa [math]a[/math] on sama kuin funktion muutoksen nopeus kohdassa [math]a.[/math][br]Funktion [math]f[/math] derivaattafunktiota merkitään symbolilla [math]f'[/math]. Derivaatan arvo kohdassa [math]x=a[/math] on [math]f'(a)[/math]. Funktion derivaattaa voidaan merkitä myös symboleilla [math]D(f(x))[/math] tai [math]\frac{\text{d}}{\text{d}x}f(x)[/math] .[br][br]Aikaisemman perusteella tiedämme, että vakiofunktiolle muutoksen nopeus on nolla, joten [math][br]D(c)=0[/math], [br]missä [math]c[/math] on vakio. Suoralle muutosnopeus oli sama kuin suoran kulmakerroin. Saamme tästä derivointisäännön[br][math]D(kx+b)=k[/math][br][br]Seuraavassa voit tutkia, miksi vakiofunktion derivaatta on nolla. Kuvassa on funktion [math]f(x)=c[/math] kuvaaja.

Edellisen luvun viimeisessä tehtävässä tutkittiin muutosnopeutta ja tangentin kulmakerrointa. Tuloksena on, että hetkellistä muutosnopeutta [br]kuvaa tangentin kulmakerroin. Siis:[br][br]Muutosnopeus kohdassa [math]x=a[/math] on sama kuin [math]f'(a)[/math], joka taas on sama kuin kohtaan [math]x=a[/math] piirretyn tangentin kulmakerroin. [br][br]Tutki tätä seuraavan Geogebrahavainnollistuksen avulla. Tähän [br]havainnollistukseen kannattaa palata moneen kertaan. Derivaattakurssin [br]keskeisin kysymys on: "Mitä derivaatta kertoo funktion kulusta?".

Seuraavien tehtävien tekeminen onnistuu Geogebran tangenttityökalulla [icon]/images/ggb/toolbar/mode_tangent.png[/icon]. Huomaa, jälkimmäisessä tehtävässä syötä käyrä annetussa muodossa, niin Geogebra tunnistaa käyrän paraabeliksi. Paraabelille tangenttityökalulla pystytään muodostamaan tangentti siinäkin tapauksessa, että annettu piste ei ole käyrälle.[br][br]1) Piirrä Geogebralla funktiolle [math]f\left(x\right)=x^2-3x+2[/math] kohtaan [math]x=2[/math] piirretty tangentti.[br]2) Piirrä käyrälle [math]$y=x^2-3x+2$[/math] ne tangentit, jotka kulkevat origon kautta.[br]