[size=200][b]V. Ermitteln der Funktion (Teil 2)[/b][br][math]\quad\quad[/math]... aus Länge und Durchhang[/size]

Die Höhe [i]h[/i] der Pfeiler hat keinen Einfluss auf die Form der Kettenlinie. Hier wird z.B. [i]h[/i]=4 festgelegt.[br][br]Die Funktion [math]f\left(x\right)=a\cdot\cosh\left(\frac{x}{a}\right)-a\cdot\cosh\left(\frac{c}{a}\right)+h[/math] soll an der Stelle x=0 den Wert h-d haben:[br][math]f\left(0\right)=a\cdot\cosh\left(\frac{0}{a}\right)-a\cdot\cosh\left(\frac{c}{a}\right)+h=h-d[/math][br]Wegen [math]\cosh\left(0\right)=1[/math] folgt[br][math][br]\begin{array}{rll}[br]a-a\cdot\cosh\left(\frac{c}{a}\right)+h &= h-d \quad & \Leftrightarrow[br]\\[br]a\cdot\cosh\left(\frac{c}{a}\right) &= a + d & \Leftrightarrow[br]\end{array}[br][/math][br]Mit [math]\cosh(x)=\sqrt{1 + \sinh^2(x)}[/math] folgt[br][math][br]\begin{array}{rll}[br]a\cdot\sqrt{1+\sinh^2\left(\frac{c}{a}\right)} &= a + d & \Leftrightarrow[br]\\[br]a^2\cdot \left(1+\sinh^2\left(\frac{c}{a}\right)\right) &= (a + d)^2 & \Leftrightarrow[br]\\[br]a^2 + a^2 \cdot \sinh^2\left(\frac{c}{a}\right)[br]&= a^2 +2\,a\,d + d^2 & \Leftrightarrow[br]\\[br]a^2 \cdot \sinh^2\left(\frac{c}{a}\right) &= 2\,a\,d + d^2 & [br]\end{array}[br][/math][br]Nun ist aber [math]l=2a\,\sinh\left(\frac{c}{a}\right)[/math], also [math]a\,\sinh\left(\frac{c}{a}\right)=\frac{l}{2}[/math] und somit gilt[br][math][br]\begin{array}{rll}[br]\left(\frac{l}{2}\right)^2 &= 2\,a\,d + d^2 & [br]\end{array}[br][/math][br]Löst man diese Gleichung nach [math]a[/math] auf, so erhält man [br][math][br]\boxed{[br]a = \frac{\left(\frac{l}{2}\right)^2 - d^2}{2\,d}[br]}[br][/math].[br]

Da die Länge [i]l[/i] und der Durchhang [i]d[/i] vorgegeben werden, ist der Pfeilerabstand 2[i]c[/i] nicht mehr beliebig, sondern für [i]c[/i] folgt aus [math]l=2a\,\sinh\left(\frac{c}{a}\right)[/math][br][math][br]\boxed{[br]c = a\cdot\sinh^{-1}\left(\frac{l}{2\,a}\right)[br][/math].[br]

Der Fall, dass die Länge der Kettenlinie und der Durchhang vorgegeben ist, dürfte in der Praxis wohl nicht so oft vorkommen.[br]Es ist der einzige Fall, bei dem die Gleichungen für die Parameter [i]a[/i] und [i]c[/i] direkt nach der gesuchten Größe aufgelöst werden können und zur Berechnung kein CAS benötigt wird.