In den voran gehenden Kapiteln haben wir drei Matrizen kennengelernt: [br][list=1][*]Die Matrix [math]\mathbf{A}[/math] (wie viel Rohstoffe pro Zwischenprodukt)[/*][*]Die Matrix B (Wie viel Zwischenprodukte pro Endprodukt)[/*][*]Die Matrix C (Wie viel Rohstoffe pro Endprodukt)[/*][/list]Natürlich möchte man nicht immer nur [b][i]ein[/i][/b] Endprodukt herstellen. [br][b]Die Anzahl der erforderlichen Endprodukte[/b] wird vom [color=#980000][b]Produktionsvektor[/b][/color] [math]\fgcolor{#980000}{\mathbf{\vec{p}}}[/math] beschrieben. [br][b]Die Anzahl der erforderlichen Zwischenprodukte[/b] wird mit dem [color=#980000][b]Zwischenproduktsvektor[/b][/color] [math]\fgcolor{#980000}{\mathbf{\vec{z}}}[/math] beschrieben und [b]die Anzahl der erforderlichen Rohstoffe[/b] wird mit dem [color=#980000][b]Rohstoffvektor[/b][/color] [math]\fgcolor{#980000}{\mathbf{\vec{v}}}[/math] beschrieben.[br] [br]Für diese Vektoren gelten folgende Gleichungen:[br][br][math]\text{\Large$\boxed{\vec r = \mathbf A\cdot\vec z}$}[/math], [math]\text{\Large$\boxed{\vec z = \mathbf B\cdot\vec p}$}[/math] und [math]\text{\Large$\boxed{\vec r = \mathbf C\cdot\vec p}$}[/math][br][br]Mit diesen Gleichungen lassen sich Fragen beantworten, wie:[br][list][*]Wie viel Rohstoffe brauche ich für die Produktion einer gegebenen Menge Zwischenprodukte?[/*][*]Wie viel Zwischenprodukte brauche ich für die Produktion einer gegebenen Menge Endprodukte?[/*][*]Wie viel Rohstoffe brauche ich für die Produktion einer gegebenen Menge Endprodukte?[/*][/list]

Ist die Menge der Rohstoffe gegeben, dann kann in einigen Fällen auch berechnet werden, wie viel Zwischenprodukte daraus zu produzieren sind. Dazu muss die Gleichung [math]\vec{r}=\mathbf{A}\cdot\vec{z}[/math] nach [math]\vec{z}[/math] umgestellt werden. Das gelingt genau dann, wenn die Matrix [math]\mathbf{A}[/math] eine inverse Matrix [math]\mathbf{A^{-1}}[/math] besitzt:[br][math][br]\begin{array}{rll}\vec{r}&=\mathbf{A}\cdot\vec{z}& \bigg\vert \mathbf {A^{-1}}\cdot()\\[br] \mathbf {A^{-1}}\cdot\vec r&= \mathbf {A^{-1}}\cdot \mathbf {A}\cdot \vec z&\bigg\vert \text{mit: }\mathbf {A^{-1}}\cdot \mathbf {A}= \mathbf {E}\\[br]\mathbf {A^{-1}}\cdot\vec r&= \mathbf {E}\cdot\vec z = \vec z&[br]\end{array}[br][/math][br][br]Also gilt[br][math]\text{\Large$\boxed{\vec z = \mathbf{A^{-1}}\cdot \vec r}$}[/math][br]und genau so erhält man auch die Gleichungen[br][math]\text{\Large$\boxed{\vec p = \mathbf{B^{-1}}\cdot \vec z}$}[/math][br]und [br][math]\text{\Large$\boxed{\vec p = \mathbf{C^{-1}}\cdot \vec r}$}[/math][br][br]Vorausgesetzt, die inversen Matrizen existieren, denn das ist oft nicht der Fall. Weil eine inverse Matrix nur von einer quadratischen Matrix gebildet werden kann, kann die Matrix [math]\mathbf{A}[/math] nur dann eine inverse Matrix haben, wenn es genau so viel Rohstoffe wie Zwischenprodukte gibt. Denn nur dann ist die Matrix [math]\mathbf{A}[/math] eine quadratische Matrix. Und das ist sicherlich nicht so häufig der Fall.[br]Genau so kann man die Matrix [math]\mathbf{B}[/math] nur invertieren, wenn es genau so viel Zwischenprodukte wie Endprodukte gibt.[br]