Mit diesem Verfahren kann die 3. Wurzel aus einer Zahl A näherungsweise bis auf beliebige Genauigkeit berechnet werden. Außerdem kann dieses Verfahren sehr schön geometrisch dargestellt werden.[br][br][b]Vorgangsweise[/b][br]Die Grundidee der geometrischen Veranschaulichung liegt in der Problemstellung, dass für einen Würfel mit dem Volumen A die Länge der entsprechenden Seitenkante bestimmt werden soll.[br]Wir beginnen nun mit einem Quader mit quadratischer Grundfläche mit der Seitenlänge [math]x_1[/math]; dies ist der Startwert des Näherungsverfahrens. Der Höhe [math]z_1[/math] des Quaders muss dann [math]\frac{A}{{x_1}^2}[/math] sein, damit das Volumen insgesamt dem Wert A entspricht (Abb. links).[br]Dieses Quader entspricht noch nicht einem Würfel, aber wenn wir jetzt den Mittelwert der drei Seitenkanten [math]\frac{1}{3}\cdot\left(x_1+ x_1+\frac{A}{{x_1}^2}\right)[/math] wählen, dann nähert sich das Quader mehr der Form eines Würfels an.[br]Dieser Mittelwert ist der neue Näherungswert x[sub]2[/sub], und damit berechnen wir die Höhe [math]z_2=\frac{A}{{x_2}^2}[/math] des nächsten Quaders (Abb. rechts). Auf diese Weise erhalten wir schrittweise eine immer bessere Näherung für die [math]\sqrt[3]{A}[/math].[br][br]Die [b]Iterationsformel [/b]ist daher als Mittelwert der drei Seitenkanten durch[br] [math]\large{\bf{x_{n+1}=\frac{1}{3}\cdot\left(2x_n+\frac{A}{{x_n}^2}\right)}}[/math] mit [b]Startwert x[sub]1[/sub][/b] gegeben.

[b]Aufgabe[/b][br]Wähle einen geeigneten [b]Startwert x[sub]1[/sub][/b], indem du im Eingabefeld eine Zahl eingibst oder bewege den [b][color=#ff0000]roten Punkt[/color][/b] auf der x-Achse. Verändere mit dem [b]Schieberegler[/b] für [b]n[/b] die Anzahl der durchgeführten Iterationsschritte.

Das Newton'sche Näherungsverfahren ist ein sehr effizientes Verfahren zur Berechnung von Nullstellen einer differenzierbaren Funktion f.[br]Die Iterationsformel lautet [math]\large{\bf{x_{n+1}=x_n-\frac{f\left(x_n\right)}{f'\left(x_n\right)}}}[/math].[br][br]Wir wählen nun für das Babylonische Wurzelziehen die Funktion f mit [math]f\left(x\right)=x^3-A[/math].[br]Die Ableitung ist dann [math]f'\left(x\right)=3x^2[/math].[br][br]Damit ergibt sich für die Iterationsformel[br] [math]\large {\bf{x_{n+1}}} = x_n-\frac{f\left(x_n\right)}{f'\left(x_n\right)} = x_n - \frac{{x_n}^3 - A}{3{x_n}^2} = \frac{3{x_n}^3 - {x_n}^3 + A}{3{x_n}^2} = \frac{2{x_n}^3 + A}{3{x_n}^2} = \large{ \bf{\frac{1}{3} \cdot \left(2x_n + \frac{A}{{x_n}^2} \right)}} [/math]