[list][*]Bien, ya es hora de liberar a los vértices, pobres, ahí sin poder moverse, y comprobar todo esto en cualquier otro triángulo.[/*][/list][br]Así lo hizo. Para su satisfacción todos los puntos que maximizaban el área yacían una y otra vez sobre la hipérbola de Stammler. Pero de pronto, ¡la sorpresa!

[i]El punto P59 maximiza el área cuando el radio de alcance de la farola es d = 5.9. Sin embargo, no descansa sobre la hipérbola de Stammler.[br][br][/i][list][*][i]¡[/i]De nuevo aparece “el cristo de la farola” que me contaba Irene! ¡Ya sé por qué los perros hacen lo que hacen con las farolas! ¡La madre que...![/*][/list][br]Procuró tranquilizarse.[br][list][*]Resumamos. Cuando el circuncentro cae fuera de la isleta, es decir, cuando el triángulo es obtusángulo, aparecen puntos que no pertenecen a la hipérbola. Así que tendré que volver a emplear el método de Pulgarcito dejando marcas que señalen la nueva trayectoria.[/*][/list][br]Al cabo de unos minutos ya tenía otro camino que rastrear.

[list][*]Evidentemente, los puntos que no caen en la hipérbola están alineados. Pero, ¿cuál es esa recta?[/*][/list][br]Pronto descubrió que la recta pasaba por el punto medio ([b]M[/b]) del lado mayor, justo la solución del problema original de la isleta que le contó Irene. Pero para determinar esa recta precisaba de otro punto más.[list][*]Veamos, esa recta corta a la hipérbola en dos puntos. En uno de ellos es donde se produce el cambio brusco de trayectoria (¡un buen ejemplo de trayectoria continua pero no derivable en ese punto!). El otro punto, el que se encuentra más allá del incentro... ¿Qué tiene de especial ese otro punto? Si es que tiene algo...[/*][/list][br]Exploró y exploró la figura sin encontrar nada peculiar. Pero su intuición le decía que ese punto tenía que ser especial.[br][list][*]Creo que estoy atascada. Retrocederé un poco. El punto M es el punto medio de uno de los lados. Los puntos medios de los lados están relacionados con las mediatrices, que se encuentran en el circuncentro O, y con las [b]medianas[/b]. Como O ya no resulta ser un punto óptimo, voy a trazar las medianas, a ver si me dan alguna pista.[/*][/list]

Se quedó observando la imagen largo rato. Para determinar la posición del punto especial necesitaba otra línea, además de la hipérbola, que pasase por él.[br][list][*]Me faltan líneas. Ya que he unido M con B, haré lo mismo con el incentro y con el punto especial, tal vez encuentre algo.[/*][/list]

[list][*]¡Ya lo tengo! La bisectriz del triángulo que pasa por B también es bisectriz respecto a las otras dos rectas (BM y BEspecial). O lo que significa lo mismo, ¡la recta que buscaba es la simétrica de la mediana respecto a la bisectriz interior del triángulo![/*][/list][br]Igual que anteriormente, buscó información en Internet acerca de esa nueva recta.[br][list][*]¡Aquí está! “La recta simétrica a una mediana respecto a la bisectriz interior trazada desde el mismo vértice se llama [b]simediana[/b]” (en mi figura es la recta que pasa por B y por Especial). “El punto donde se encuentran las simedianas se conoce como [b]punto simediano o punto de Lemoine [/b]([b]L[/b])”. ¡Así que éste es el punto especial que andaba buscando! ¡Tengo que contarle todo esto a Irene![/*][/list]

[b]Ley de la madre de Irene[/b][br][br]Dado un triángulo no obtusángulo, todos los círculos que maximizan el área de intersección con el triángulo tienen sus centros en el arco hiperbólico que une el incentro con el circuncentro sobre la hipérbola de Stammler.[br][br]Si el triángulo es obtusángulo, esos centros se sitúan en el segmento MH y en el arco hiperbólico HI sobre la hipérbola de Stammler, siendo M el punto medio del lado mayor del triángulo y H el punto de intersección de la hipérbola con el segmento que une M con el punto de Lemoine.

[i]El lugar geométrico de todas las bases de farolas que maximizan el área iluminada en el triángulo.[br][/i]