¿Cuál es (algebraicamente) el valor más pequeño posible que la potencia de un punto puede tener con respecto a un círculo dado radio [math]R[/math]? ¿Cuál punto tiene esta potencia crítica? [br][br][b]Respuesta[/b]: [br][br]Si fijamos [math]R[/math], encontes la expresión [math]d^2-R^2[/math] alcanza su mínimo cuando [math]d=0[/math], o sea, el centro del círculo. Entonces su valor más pequeño sería [math]-R^2[/math]

¿Cuál es el conjunto de puntos, que al buscarle su potencia sea constante (mayor que [math]-R^2[/math]) con respecto a un círculo?[br][br][b]Respuesta[/b]:[br]Si [math]d^2-R^2=c[/math], c constante, tenemos[br][math]d^2=c+R^2[/math] y [math]d=\sqrt{c+R^2}[/math][br][br]¿Cuál es el lugar geométrico? [br][br]El conjunto es un círculo concéntrico.

Si la potencia de un punto tiene el valor positivo [math]t^2[/math], interprete la longitud de [math]t[/math] geométricamente.[br][br][b]Respuesta[/b]:[br][br]Sea [math]d^2-R^2=t^2[/math], entonces [math]d^2=t^2+R^2[/math]. Tenemos que por el Teorema de Pitágoras, el radio [math]R[/math], la distancia [math]d[/math] y la distancia [math]t[/math] forman un triángulo rectángulo con [math]d[/math] como su hipotenusa.

Si [math]PT[/math] y [math]PU[/math] son tangentes de [math]P[/math] a 2 círculos concéntricos, con [math]T[/math] en el menor y el segmento [math]PT[/math] encuentra el círculo largo en [math]Q[/math], entonces [math]PT^2-PU^2=QT^2[/math]

[b]Respuesta[/b]:[br][br]Sea [math]Q'[/math] el otro punto de intersección de [math]PQ[/math] con el círculo grande. Entonces tenemos:[br][br][math]PT^2-PU^2=\left(PQ-QT\right)^2-PQ\cdot PQ'=PQ^2+QT^2-2PQ\cdot QT-PQ\cdot PQ'=PQ^2+QT^2-PQ\left(2QT+PQ'\right)[/math][br][br][math]=PQ^2+QT^2-PQ\left(QQ'+PQ'\right)=PQ^2+QT^2-PQ^2=QT^2[/math][br][br]Por lo tanto, [math]PT^2-PU^2=QT^2[/math]

El circunradio de un triángulo es al menos dos veces el inradio.[br][br][b]Respuesta: [br][br][/b]Por el Teorema 2.12, sabemos que [math]d^2=R^2-2rR[/math], donde [math]d[/math] es la distancia entre el circuncentro y el incentro. Dividiendo entre [math]R^2\ne0[/math] obtenemos [math]\frac{d^2}{R^2}=\left(\frac{d}{R}\right)^2=1-\frac{2r}{R}[/math]. Luego obtenemos:[br][br][math]1-\frac{2r}{R}\ge0[/math][br][math]1\ge\frac{2r}{R}[/math][br][math]R\ge2r[/math]

Exprese (en términos de r y R) la potencia del incentro con respecto al circuncírculo.[br][br]

[b]Respuesta[/b]:[br][math]R[/math] es el radio del círculo grande, [math]I[/math] es el incentro y [math]O[/math] es el centro del círculo grande.[br][br]Sea [math]d[/math] la distancia del incentro al punto [math]O[/math]. [br][br]Entonces la potencia con signo opuesto será: [math]\left(R+d\right)\left(R-d\right)=R^2-d^2[/math] por Teorema, sabemos que [math]d^2=R^2-2rR[/math], sustituyendo obtenemos:[br][br][math]\left(R+d\right)\left(R-d\right)=R^2-\left(R^2-2rR\right)=2rR[/math]. [br][br]La potencia será [math]-2rR[/math] con su signo correspondiente.

Pensando en segmentos dirigidos asumiendo [math]A[/math], [math]B[/math] y [math]C[/math] colineales, podemos escribir el Teorema de Stewart en la siguiente forma simétrica: [math]PA^2\times BC+PB^2\times CA+PC^2\times AB+BC\times CA\times AB=0[/math].

[b]Respuesta[/b]: [br][br]Aplicamos el Teorema de Stewart en [math]\text{Δ}ACP[/math] con ceviana [math]PB[/math] obtenemos y tomando en consideración una dirección positiva hacia la izquierda para obtener: [br][br][math]CA\times\left(PB^2+CB\times BA\right)=PC^2\times CB+PA^2\times BA[/math][br][math]CA\times PB^2+CA\times\left(-BC\right)\times\left(-AB\right)=PC^2\times\left(-BC\right)+PA^2\times\left(-AB\right)[/math][br][math]PA^2\times BC+PB^2\times CA+PC^2\times AB+BC\times CA\times AB=0[/math]

Una línea a través del centroide [math]G[/math] de [math]\text{Δ}ABC[/math] interseca los lados del triángulo en los puntos [math]X[/math], [math]Y[/math], [math]Z[/math]. Usando el concepto de segmentos dirigidos, pruebe que[br][br][math]\frac{1}{GX}+\frac{1}{GY}+\frac{1}{GZ}=0[/math]

[b]Respuesta[/b]:[br][br]Primero, trazamos paralelas que pasan por G y notamos por el Teorema de Tales y centroide que trisecan a [math]BC[/math].[br][br]Tenemos [math]\frac{1}{GX}+\frac{1}{GY}+\frac{1}{GZ}[/math] y los multiplicamos por [math]GZ[/math], para obtener: [math]\frac{GZ}{GX}+\frac{GZ}{GY}+\frac{GZ}{GZ}=\frac{UZ}{UB}+\frac{VZ}{VC}+1[/math] (por configuraciones de Tales)[br][br]Notemos que [math]-UB=VC[/math] por trisección. Ahora,[br][math]\frac{UZ-VZ}{UB}+1[/math] y como [math]UZ-VZ=UV\Longrightarrow\frac{UV}{UB}+1[/math][br][br]Como [math]UV[/math] y [math]UB[/math] son iguales pero con dirección opuesta, [math]UV=-UB[/math], [math]-1+1=0[/math]

¿Cuán lejos está el horizonte visto desde la cima de una montaña de una milla? Asuma que la tierra es una esfera con diámetro de 7920 millas. [br][br][b]Respuesta[/b]: [br][br]Podemos observar la tierra como un círculo con un radio [math]R[/math] de 3,960 millas, un punto [math]P[/math] a una distancia [math]d[/math] de 3,961 millas del centro, que representa la cima de la montañana, un punto de tangencia [math]T[/math] que representa el horizonte y el segmento [math]PT[/math], la tangente al círculo que representa la distancia entre el pico de la montaña y el horizonte. Por el Teorema 2.11, tenemos que [math]PT^2=d^2-R^2[/math]. Por tanto,[br][br][math]PT=\sqrt{3961^2-3960^2}=89[/math].[br][br]El horizonte está a una distancia de 89 millas.