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Estudo das Elipses
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1. Introdução
- Aplicações
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2. Propriedade Refletora da Elipse
- Propriedade Refletora Da Elipse
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3. O que é uma elipse?
- O que é uma elipse?
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4. Corte no Cone
- Corte no Cone
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5. Elementos
- Elipse
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6. Questões
- Questões
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Estudo das Elipses
Laís de Almeida Pereira, Jun 1, 2024
A elipse é uma figura bastante comum na geometria plana. Presente no dia a dia, a elipse descreve, por exemplo, o trajeto que o planeta Terra faz no movimento de translação, conhecido como órbita. A elipse é conhecida como cônica, porque ela pode ser obtida por meio da secção de um cone.
Table of Contents
- Introdução
- Aplicações
- Propriedade Refletora da Elipse
- Propriedade Refletora Da Elipse
- O que é uma elipse?
- O que é uma elipse?
- Corte no Cone
- Corte no Cone
- Elementos
- Elipse
- Questões
- Questões
Aplicações
Encontramos a elipse na área de saúde humana, onde os espelhos refletores usados pelos dentistas têm este formato, assim como os aparelhos utilizados em tratamentos radioterápicos, principalmente contra o câncer e o cálculo renal.
A primeira Lei de Kepler (1571-1630) diz que os planetas do nosso Sistema Solar realizam trajetórias
elípticas, sendo o Sol um de seus focos. Isaac Newton (1643-1727) também utilizou conhecimentos das cônicas para desenvolver a Lei da Gravitação Universal.
Também encontraremos a elipse em certos museus de ciência e nos castelos de alguns monarcas europeus excêntricos, na forma de “salas de sussurros”.
Propriedade Refletora Da Elipse
Algumas destas aplicações somente são possíveis por causa da propriedade refletora da elipse.
Se uma fonte de luz estiver situada em um dos focos de um espelho elíptico, todos os raios refletidos por este espelho se concentrarão no outro foco.
Assim, temos a certeza que a luz dos dentistas atingirá somente o dente, e não também o olho do paciente. Da mesma forma, os médicos podem utilizar da radioterapia e destruir somente os tecidos doentes, e não os sadios. No tratamento do cálculo renal é utilizado um procedimento semelhante ao anterior, conforme figura abaixo.
O que é uma elipse?
Elipse é lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias a outros dois pontos (chamados focos) é constante.
Como desenhar uma elipse?
Utilizando régua e compasso:
No GeoGebra:
Definir os pontos F1 e F2;
Traçar um círculo com centro em F1 e com um ponto qualquer de modo que o raio deste círculo seja maior que a distância entre F1 e F2;
Definir um ponto qualquer sobre o círculo maior, ponto MOVER;
Traçar um segmento de reta de F1 a MOVER;
Definir o ponto médio de F2 e MOVER;
Traçar a mediatriz de F2 e MOVER;
Definir o ponto de intersecção entre a mediatriz e o segmento de reta de F1 a MOVER, o ponto P (ponto pertencente à elipse).
Tente você construir uma elipse:
Use a apliqueta abaixo.
Corte no Cone
Elipse
Para compreender bem a formação da elipse, é necessário conhecer cada um de seus elementos. São eles os focos, o centro, o eixo maior e o eixo menor. Com base neles, é possível traçar relações importantes na elipse.
O centro da elipse é representado pelo ponto O.
Já os pontos F1 e F2 representam os focos de elipse.
Os pontos A1 e A2 são extremidades do eixo horizontal da elipse, e os pontos B1 e B2 são extremidades do seu eixo vertical.
A distância entre B1 e B2 é igual a 2b (comprimento da elipse no eixo menor).
A distância entre A1 e A2 é igual a 2a (comprimento da elipse no eixo maior).
A distância focal entre F1 e F2 é igual a 2c.
Se o leitor desejar informações complementares, é interessante visitar a construção original LA ELIPSE de Manuel E. Serrano no link: https://www.geogebra.org/m/zKzJ66PZ
Questões
Questão 01
Questão 02
A distância focal da elipse que passa pelos pontos A1(-6, 0), A2(6, 0) e B1(0, 10) e B2(0, -10) é de:
Questão 03
Questão 04
Qual é a excentricidade da elipse 4x² + 25y² = 100 aproximadamente:
(Use √3 = 1,7 e √7 = 2,6)
Questão 05
(UEL PR) Em uma praça dispõe-se de uma região retangular de 20 m de comprimento por 16 m de largura para construir um jardim. A exemplo de outros canteiros, este deverá ter a forma elíptica e estar inscrito nessa região retangular. Para aguá-lo, serão colocados dois aspersores nos pontos que correspondem aos focos da elipse. Qual será a distância entre os aspersores?
Questão 06
A equação da elipse com o centro na origem do plano cartesiano e que passa pelos pontos A1(5, 0), A2 (-5, 0) e B2 (0, -4) é:
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