Polinomio approssimante di [math]e^x[/math] intorno a zero:[br][br][math]e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+...[/math][br][br]Polinomio approssimante di [math]cosx[/math] intorno a zero:[br][br][math]cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}-\frac{x^{10}}{10!}+...[/math][br][br]Polinomio approssimante di sinx intorno a zero:[br][br][math]sinx=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...[/math]
Quale dei tre polinomi contiene [b]tutti i gradi?[/b]
[list=1][br] [/list]Quale dei tre polinomi contiene [b]solo potenze pari[/b]?
Quale dei tre polinomi contiene [b]solo potenze dispari[/b]?
Come cambiano i [b]segni[/b] nei polinomi di seno e coseno?
Se sommiamo, raggruppando, i termini di grado [b]pari[/b] e poi di grado [b]dispari[/b] del polinomio di (e^x), cosa succede?[br]
Ricordiamo che l'unità immaginaria i è tale che [math]i^2=-1[/math]. Calcolare:[br][math]i^3[/math][br][math]i^4[/math][br][math]i^5[/math]
Completa la seguente tabella:[br][br][b]potenza[/b] [b]valore[/b][br] [math]i^1[/math][br] [math]i^2[/math][br] [math]i^3[/math][br] [math]i^4[/math][br] [math]i^5[/math][br] [math]i^6[/math][br] [math]i^7[/math][br] [math]i^8[/math][br] ...
Che tipo di ricorrenza si osserva?
Che cosa succede se al posto di [math]x[/math] mettiamo [b][math]ix[/math][/b] nel polinomio di [math]e^x[/math]?[br][br]Scrivi sotto come diventa [math]e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+...[/math] facendo la sostituzione suggerita.[br]
calcoliamo le potenze:[br] [math](ix)^2=[/math][br] [math](ix)^3=[/math] [br] [math](ix)^4=[/math][br] ...
dopo aver calcolato le potenze esplicita come diventa il polinomio[br] [math]e^{ix}=[/math]
Possiamo raggruppare i termini [b]senza la [math]i[/math][/b] e quelli [b]con [math]i[/math][/b] ?[br]Scrivi sotto come diventa [math]e^{ix}[/math] con i termini separati (mettendo in evidenza il fattore comune [math]i[/math])
Considera com'è diventato il polinomio che esprime [math]e^{ix}[/math] e [br]ricorda che:[br] [math]cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}-\frac{x^{10}}{10!}+...[/math][br]e [br] [math]sinx=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...[/math][br][br]1. Il primo gruppo di termini di [math]e^{ix}[/math] (quelli che [b]non contengono[/b] la [math]i[/math] ) a quale funzione assomiglia?[br][br][br]2. Il secondo gruppo di termini di [math]e^{ix}[/math] (quelli che [b]contengono[/b] la [math]i[/math] ) a quale funzione assomiglia?[br][br][br]3. Che cosa otteniamo quindi? Dopo queste considerazioni scrivi come possiamo esprimere [math]e^{ix}[/math][br][br][br]
Le funzioni senx e cosx sono nascoste dentro quale funzione?
La relazione che hai trovato che viene detta "La formula di Eulero", [img]data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==[/img] fu scoperta e divulgata dal matematico svizzero [b]Leonhard Euler[/b] (Eulero) nel XVIII secolo, nello specifico pubblicata nel [b]1748[/b] nella sua opera fondamentale [i]Introductio in analysin infinitorum[/i].[br]La formula collega i numeri complessi alla trigonometria, unificando la funzione esponenziale con le funzioni trigonometriche seno e coseno attraverso l'unità immaginaria.[br]Riscrivi sotto l'importante formula:
Come si trasforma la formula di Eulero se si pone [math]x=\pi[/math] ?
La formula di Eulero calcolata per [math]x=\pi[/math] da' una relazione che viene detta '[b]identità di Eulero[/b]' spesso definita la "formula più bella della matematica" perché collega cinque dei più importanti numeri matematici ([math]0,1,e,\pi,i[/math]) in un'unica equazione. Inserisci una ricerca storica del motivo per cui viene definita la formula più bella della matematica.