Na atividade anterior, tivemos uma abordagem visual a respeito de continuidade, mas... Como podemos caracterizar continuidade? É sobre isso que falaremos aqui, mas antes precisamos de falar rapidamente sobre limites.[br][br]A seguir há um vídeo em que eu explico sobre a definição formal de limite para que possamos DEPOIS fazer esta caracterização. Como eu falo um pouco lento, você pode colocar o vídeo em 2X que dá para entender tudo o que está sendo tratado. :-)
No vídeo seguinte eu explico como vamos caracterizar funções contínuas usando a ideia de Limite. A classe das funções cujo limite em um ponto for igual à imagem do ponto é o que vamos chamar de funções contínuas. [br][br]No vídeo a seguir há uma explicação sobre isso e logo a seguir um resumo do que foi falado no vídeo. Se não precisar da explicação, já pode ir diretamente para o tópico Funções Contínuas Elementares.
Os exemplos anteriores mostram, graficamente, situações em que o leitor pode ver os pontos em que a função é descontínua, mas lembre-se que imagens são ilustrações que ajudam no entendimento do conceito, mas é importante que se tenha claro o que significa ser uma função contínua em um ponto [math]x=a[/math]qualquer. [br][br][center][math]\Large y=f\left(x\right)[/math] é uma função contínua em [math]\Large x=a\Longleftrightarrow \lim_{x\longrightarrow a}f\left(x\right)=f\left(a\right)[/math][/center]
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A continuidade é um "fenômeno" local, ou seja, dizemos que uma função é ou não contínua em um ponto x=a qualquer. Caso a função seja contínua em todos os pontos de um intervalo I, dizemos que a função é contínua em I (o intervalo I pode ser até a reta toda).[br][br]São funções contínuas em todos os pontos da reta real[br][br][list=1][*]f(x)=k em que k é uma constante real qualquer.[/*][*]g(x)=x [/*][/list][br]A função h(x)=√x é uma função contínua para qualquer valor de x>0.[br][br]A seguir há um ambiente em que pode colocar a função que desejar para ver como é o seu aspecto gráfico.
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Considere que as funções f(.) e g(.) são contínuas em x=a. Então, são contínuas também as funções[br][br][list][*]f(.)+g(.)[/*][*]g(.)-g(.)[/*][*]f(.)*g(.)[/*][*]f(.)/g(.) SE g(a) for diferente de zero.[/*][/list][br]Desse modo, é fácil identificar pontos onde as funções são contínuas se conseguir identificar quais são os "tijolinhos" que produzem a função. Por exemplo[br][br][center][math]\Large f(x)=\frac{x+1}{\sqrt{x}}[/math][/center]Olhe para o numerador: [color=#ff0000]x+1[/color] é um polinômio, logo é uma função contínua em todos os pontos, pois é uma soma de funções contínuas (lembra das funções contínuas elementares de ali mais em cima?). O denominador é uma função contínua, mas apenas se x>0. Então, se x>0 tanto o numerador quanto o denominador serão funções contínuas, certo? [br][br]Se necessário, use o ambiente a seguir para ver o gráfico da função.
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1) Considere a função [math]\Large f(x)=2x^2+4[/math] Quais são os pontos em que esta função é contínua?
2) Considere a função [math]\Large f(x)=2\sqrt{x}+4[/math] Quais são os pontos em que esta função é contínua?
3) Considere a função [math]\Large f(x)=\frac{x+1}{x^2-4}[/math] Quais são os pontos em que esta função é contínua?
4) Considere a função [math]\Large f(x)=\frac{\cos(x)+1}{x^2+4}[/math] Quais são os pontos em que esta função é contínua?
4) Considere a função [math]\Large f(x)=\frac{\cos(x)+1}{x^2+4}[/math] Quais são os pontos em que esta função é contínua?
4) Considere a função [math]\Large f(x)=\frac{\cos(x)+1}{x^2+4}[/math] Quais são os pontos em que esta função é contínua?
5) Considere a função [math]\Large f(x)=ln(x)[/math] Quais são os pontos em que esta função é contínua? Use o ambiente GeoGebra acima para tentar fazer uma inferência a respeito dos locais em que esta função é contínua. ;-)
No campo a seguir, liste as funções elementares que você já sabe que são contínuas e em que pontos elas são contínuas. Escreva como achar melhor. Por exemplo:[br][br]f(x)= Raiz(x), contínua se x>0.[br][br]ou[br][br]f(x)=sqrt(x), contínua se x>0[br]f(x)=√x, contínua se x>0.