T[sub]6[/sub] (y,x,z) este simetricul lui T[sub]1[/sub] (x,y,z) faţă de planul determinat de axa Oz şi de prima bisectoare a planului (xOy), plan ce conţine punctele O, P[sub]3 [/sub]şi A, deci include dreptele OA şi P[sub]3 [/sub]A. Aceste drepte sunt perpendiculare pe dreapta P[sub]1[/sub]P[sub]2[/sub], care este inclusă în planul (P[sub]1[/sub]P[sub]2[/sub]P[sub]3[/sub]). [br][i]Aşadar, planul (P[sub]1[/sub]P[sub]2[/sub]P[sub]3[/sub]) este perpendicular pe planul (AOP[sub]3[/sub]).(1)[br]Planele [/i][i](P[sub]1[/sub]P[sub]2[/sub]P[sub]3[/sub]) şi [/i][i](AOP[sub]3[/sub]) se intersectează după dreapta P[sub]3[/sub]A, care conţine mijlocul segmentului [BC].(2)[br][/i][i]Punctul T(x,y,z) aparţine planului (ABC), care este identic cu planul [/i](P[sub]1[/sub]P[sub]2[/sub]P[sub]3[/sub]). (3)[br]Din(1),(2)şi (3) rezultă că simetricul lui T[sub]1[/sub] (x,y,z) faţă de planul (AOP[sub]3[/sub]) este simetricul faţă de dreapta P[sub]3[/sub]A,, care include mediana din A, a[math]\Delta[/math][i]ABC.[/i]

Punctul E este centrul de greutate al [math]\Delta[/math]ABC.[br]Formal, se pot scrie relaţiile:[br] [math]M_1=\frac{B\left(0,p,p\right)+C\left(p,0,p\right)}{2}=\left(\frac{p}{2},\frac{p}{2},p\right)[/math][br][math]E=\frac{1}{3}A\left(p,p,0\right)+\frac{2}{3}M_1\left(\frac{p}{2},\frac{p}{2},p\right)=\left(\frac{2p}{3},\frac{2p}{3},\frac{2p}{3}\right)[/math][br][u]Observaţie[br][/u] Punctul [math]E\left(\frac{2p}{3},\frac{2p}{3},\frac{2p}{3}\right)[/math] corespunde triunghiului echilateral cu perimetrul 2p.

Distanţele de la punctul E la punctele echivalente sunt egale cu[br] [math]\rho=\sqrt{\left(\frac{2p}{3}-x\right)^{2^{^{ }}}+\left(\frac{2p}{3}-y\right)^2+\left(\frac{2p}{3}-z\right)^2}[/math].

În [math]\Delta ABC[/math], care este echilateral, AB=BC=CA=p, M[sub]1[/sub] , M[sub]2 [/sub], M[sub]3[/sub] sunt mijloacele laturilor [BC], [CA], respectiv [AB], iar E este centrul de simetrie.[br][math]m\left(\angle M_1EM_2\right)=m\left(\angle M_2EM_3\right)=m\left(\angle M_3EM_1\right)=120^\circ[/math][br][math]m\left(M_1EC\right)=m\left(\angle M_2EC\right)=m\left(\angle M_2EA\right)=m\left(\angle M_3EA\right)=m\left(\angle M_3EB\right)=m\left(\angle M_1EB\right)=\frac{120^\circ}{2}=60^\circ[/math][br][math]m\left(\angle T_1ET_2\right)=120^{\circ}-2\alpha[/math][br][math]m\left(\angle T_2ET_3\right)=2\alpha[/math][br][math]m\left(\angle T_1ET_3\right)=120^\circ[/math][br][i]Observaţie[br][/i][math]m\left(\angle T_3ET_4\right)=m\left(\angle T_5ET_6\right)=m\left(\angle T_1ET_2\right)=120^{\circ}-2\alpha[/math][br][math]m\left(\angle T_4ET_5\right)=m\left(\angle T_6ET_1\right)=m\left(\angle T_2ET_3\right)=2\alpha[/math]

Dacă [math]\alpha=30^\circ[/math] , atunci [math]m\left(\angle T_1ET_2\right)=m\left(T_2ET_3\right)=m\left(T_3ET_4\right)=m\left(\angle T_4ET_5\right)=m\left(\angle T_5ET_6\right)=m\left(\angle T_6ET_1\right)=60^\circ[/math].[br][i]Observaţie[br][math]m\left(\angle T_1EC\right)=60^{\circ}-\alpha=30^{\circ}[/math] (1)[br][math]m\left(\angle M_2CE\right)=\frac{m\left(\angle ACB\right)}{2}=\frac{60^{\circ}}{2}=30^{\circ}[/math] (2)[br][math]\angle T_1EC[/math] şi [math]\angle M_2CE[/math] [/i]sunt alterne-interne[i] (3)[br][/i]Din (1), (2) şi (3) [math]\Rightarrow[/math][i] [math]T_1E\parallel AC[/math] . [/i]Dar [math]AC\parallel P_{2_{ }}P_3\subset\left(zOy\right)[/math][i]. [/i]Deci[i] [math]T_1E\parallel\left(yOz\right)\Rightarrow z\left(T_1\right)=z\left(E\right)=\frac{2p}{3}\Rightarrow x\left(T_1\right)+y\left(T_1\right)=\frac{4p}{3}[/math][br][/i]

[list][*]Dacă [math]\Delta XYZ[/math] este isoscel, cu vârful în Z, atunci x=y.[/*][/list]Punctele A(p,p,0) şi P[sub]3[/sub](0,0,p) aparţin planului de ecuaţie x=y (planul determinat de prima bisectoare a planului (xOy) şi axa Oz.[br]Deci [math]T_1\left(x,y,z\right)\in AP_3\Rightarrow T_1\in\left[EM_1\right][/math].[br][list][*]Dacă [math]\Delta XYZ[/math] este isoscel, cu vârful în Y, atunci x=z.[/*][/list] Se obţine [math]T_1\left(x,y,z\right)\in CP_2\Rightarrow T_1\in\left[EC\right][/math][br][br]