Volume d'une boule
BUT
Déterminer la formule pour calculer le volume d'une boule
UN PEU D'HISTOIRE...
Archimède en 220 avant JC environ compare les volumes d'une sphère et d'un cylindre de révolution.
SPHERE DANS UN CYLINDRE DE REVOLUTION
Dans la figure ci-dessous, on a inscrit une boule de rayon dans un cylindre de révolution dont le rayon du disque de base est et la hauteur est .
Cela signifie que la boule "touche" les bords du cylindre de révolution.
"volume de a" correspond au volume de la boule
"volume de b" correspond au volume du cylindre de révolution.
- Bougez le point jaune à l'aide de la souris pour faire varier le rayon r et déplacez la figure à l'aide de la souris pour bien observer la figure dans l'espace.
ACTIVITE 1
On cherche à voir s'il y a un rapport entre le volume du cylindre et celui de la boule. L'appliquette ci-dessous permet d'enregistrer les volumes des deux solides lorsque l'on fait varier le rayon en déplaçant le point jaune.
Sélectionnez les cellules A2 et B2 jusqu'à la fin de votre tableau de données ainsi obtenu.
Cliquez sur 
puis sur 
Statistiques à deux variables.
Vous obtenez alors un graphique qui représente le volume du cylindre en fonction du volume de la boule.
puis sur Statistiques à deux variables.
Vous obtenez alors un graphique qui représente le volume du cylindre en fonction du volume de la boule.SPHERE DANS UN CYLINDRE DE REVOLUTION
QUESTION 1
Semble-t-il s'agir d'une situation de proportionnalité ?
Autrement dit, d'après ce graphique, est-ce que le volume de la boule semble proportionnel à celui de son cylindre de révolution circonscrit ? Justifier.
ACTIVITE 2
But: trouver le coefficient de proportionnalité.
QUESTION 2
Dans le tableur, quelle formule faut-il entrer dans la cellule C2 pour trouver le coefficient de proportionnalité tel que :
volume b= volume a
ACTIVITE 3
Entrez la formule correcte dans le tableur et étirez la formule jusqu'à la fin des données obtenues précédemment.
QUESTION 3
Quel est la valeur du coefficient de proportionnalité cherché ?
Vérification
Vous pouvez vérifier votre réponse en choisissant dans la partie graphique Modèle d'ajustement : Linéaire.
Vous devriez voir une équation de la forme avec la valeur cherchée de .
ACTIVITE 4: LE BILAN
A l'aide du tableur nous observons que le coefficient de proportionnalité entre le volume de la boule et le volume du cylindre de révolution est 1,5. (Ceci est observé sur un petit nombre de valeurs, mais nous pouvons étendre les données...)
Nous admettrons:
volume du cylindre de révolution =1,5volume de la boule
or
volume du cylindre de révolution =
donc
=volume de la boule
donc
volume de la boule=
donc
volume de la boule=
A écrire dans le cahier de cours:
Propriété (admise) :
Le volume V d'une boule de rayon r est:
EXERCICE 1
- Calculer le volume d'une boule de rayon 5 cm.
- Donner un arrondi au 10e.
EXERCICE 2
Le volume d'une boule de diamètre 18 cm est
EXERCICE 3 (extrait du sujet de DNB France métropolitaine, juin 2018).
Le gros globe de cristal est un trophée attribué au vainqueur de la Coupe du monde de ski. Ce trophée pèse 9 kg et mesure 46 cm de hauteur.
Le biathlète français Martin Fourcade a remporté le sixième gros globe de sa carrière en 2017 à Pyeongchang en Corée du Sud.
On considère que ce globe est composé d'un cylindre de révolution en cristal de diamètre 6 cm, surmonté d'une boule de cristal. (voir schéma ci-dessous).
- Calculer la valeur exacte du volume de la boule de cristal.
- Calculer la valeur exacte du cylindre de révolution.
- En déduire la valeur exacte du volume du trophée.
- Donner un arrondi à l'unité de ce volume.
Schéma du globe de cristal
figure à mettre