Wie könnte man einen rein mathematischen, periodischen Wachstumsprozess schöner darstellen als mit einer Spirale?[br]Die hier dargestellte Spirale ist eine Logarithmische Spirale. Die Geometrische Reihe versteckt sich unter anderem in den Schnittpunkten mit der positiven x-Achse.
Es fällt schnell auf, dass es nicht nur eine größer werdende, nach außen gerichtete Fortsetzung der Spirale gibt, sondern auch eine kleiner werdende, eine nach innen gerichtete.[br][br]Die Geometrische Folge können wir auch in die negative Richtung [br]erweitern, indem wir für [math]q[/math] auch negative Potenzen zulassen, also [math]a_i=a_0\cdot q^i[/math] mit [math]i\in\mathbb{Z}[/math].
1.) Vergleiche die Darstellungen der Spirale mit den Werten k=0.4 und k=2.5.[br]Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede fallen Dir auf?[br]2.) Erläutere den Zusammenhang der Zahlen 0.4 und 2.5.
1.) Gemeinsamkeiten: Die Spirale hat auf der positiven x-Achse die gleichen Schnittpunkte für k=0.4 und k=2.5.[br]Unterschiede: Die Farben, also der rote und blaue Teil der Spirale kehren sich um für die Werte k=0.4<1 und k=2.5>1. [br]Vom Nullpunkt nach außen gesehen kehrt sich auch die Drehrichtung um für die Werte k=0.4<1 und k=2.5>1.[br]2.) Die Zahlen [math]0.4=\frac{2}{5}[/math] und [math]2.5=\frac{5}{2}[/math] sind Kehrwerte zueinander. Für [math]q^1=0.4[/math] ist [math]q^{-1}=2.5[/math] und umgekehrt.
1.) Benenne die geometrische Beziehung der Tangenten zueinander. [br]2.) Begründe, warum die Tangenten in einer derartigen Spirale genau so zueinander stehen müssen.
1.) Die Tangenten stehen parallel zueinander.[br]2.) Eine logarithmische Spirale hat, ähnlich wie die geometrische Folge einen konstanten Wachstumsfaktor. Die Tangenten, als graphisches Hilfsmittel zur Darstellung von Steigung, müssen also parallel zueinander stehen, da die relative Veränderung für jeden Punkt auf der Spirale gleich ist und bleibt.