In questa sezione verranno proposte due tipologie di equazioni irrazionali fratte con [b]radici quadrate[/b].

Risolvere la seguente equazione:[br][center][math]\large \frac{\sqrt{3x^2-3x-2}}{x^2-x}=\frac{1}{x}[/math][/center]Per prima cosa si scompongono i denominatori e si effettua la relativa C.E., ovvero:[br][math]\frac{\sqrt{3x^2-3x-2}}{x\cdot\left(x-1\right)}=\frac{1}{x}\ \longrightarrow\ \begin{array}{ll}\text{C.E.}&x\ne0\\ &x-1\ne0\ \longrightarrow\ x\ne1\end{array}[/math][br]Si procede quindi con il m.c.d. e la successiva semplificazione dei denominatori, ottenendo così un'equazione irrazionale elementare:[br][math]\frac{\sqrt{3x^2-3x-2}}{x\cdot\left(x-1\right)}=\frac{1}{x}\ \longrightarrow\ \frac{\sqrt{3x^2-3x-2}}{\cancel{x\cdot\left(x-1\right)}}=\frac{x-1}{\cancel{x\cdot\left(x-1\right)}}\ \longrightarrow\sqrt{3x^2-3x-2}=x-1 [/math][br]Essendo l'indice di radice pari, il secondo membro dovrà essere maggiore (non uguale per la C.E.) ([b]condizione di coerenza dei segni[/b]) e la risoluzione richiederà l'elevamento a potenza di entrambi i membri:[br][math]\sqrt{3x^2-3x-2}=x-1\ \longrightarrow\ \begin{cases}3x^2-3x-2=\left(x-1\right)^2\\[br]x-1>0\end{cases}\longrightarrow\begin{cases}3x^2-3x-2=x^2-2x+1\\[br]x>1\end{cases}\longrightarrow\begin{cases}2x^2-x-3=0\\[br]x>1\end{cases} [/math][br]Si risolve l'equazione di secondo grado[br][math]x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{1+24}}{4}=\frac{1\pm5}{4}=\begin{matrix}\nearrow&x=-1&\text{(non accettabile)}\\ \searrow&x=\frac{3}{2}&\end{matrix}[/math][br]Solo una soluzione è accettabile perchè verifica la condizione di coerenza dei segni.

[list][*]Con il bottone [b]"GENERA ESPRESSIONE"[/b] si crea un nuovo esercizio, nasconde il risultato qualora sia visibile e mostra il bottone "Mostra risultato" qualora sia nascosto.[/*][*]Con lo slider [b]"Valori max" [/b]è possibile variare il valore massimo dei numeri.[/*][*]Il bottone [b]"Mostra risultato"[/b] se premuto scompare e visualizza il risultato[/*][*]Con gli strumenti penna e cancella è possibile risolvere l'esercizio nello spazio dedicato.[/*][/list]

Risolvere la seguente equazione:[br][center][math]\large \sqrt[3]{\frac{10 x-17}{x-2}}=2[/math][/center]Per prima cosa si effettua la C.E. del denominatore, ovvero:[br][math]\sqrt[3]{\frac{10x-17}{x-2}}=2\ \longrightarrow\ \text{C.E.}\ \ \ x-2\ne0\ \longrightarrow\ \large \bf x\ne2[/math][br]Si procede quindi elevando a potenza di entrambi i membri e risolvendo l'equazione fratta ottenuta, ovvero:[br][math]\sqrt[3]{\frac{10x-17}{x-2}}=2\ \longrightarrow\ \frac{10x-17}{x-2}=2^3\ \longrightarrow\ \ \frac{10x-17}{\cancel{x-2}}=\frac{8\cdot\left(x-2\right)}{\cancel{x-2}}\ \longrightarrow\ 10x-17=8x-16\ \longrightarrow\ 2x=1\ \longrightarrow\ \large\bf x=\frac{1}{2} [/math][br]che rispetta la C.E..