Vamos, agora, demonstrar diretamente algumas proposições. Deixaremos claro as definições necessárias para não haver ambiguidades.

[justify] "Traduzindo" a proposição usando conectivos, pode-se perceber que o argumento é da forma se A, então B. Note que um número é par se é divisível por 2. Como utilizaremos ímpares, 2 não os divide. Então, tais números são do formato 2a+1, sendo a um número inteiro qualquer, pois todo número inteiro dividido por 2 deixa resto 0 ou resto 1, mas se o resto fosse 0, 2 os dividiria e eles seriam pares, mas não são. Assim, para provar que essa afirmação é verdadeira, fixaremos dois ímpares arbitrários: x=2a+1 e y=2b+1; e continuamos com eles. Tais elementos são chamados de variáveis fixas, porém arbitrárias. Elas são fixas porque as utilizaremos até o fim de nossas contas, mas arbitrárias por conta dos valores a e b poderem ser quaisquer inteiros. Isso garante que provaremos a afirmação para todos os ímpares, não só para alguns deles.[/justify]

[justify]  Sejam x=2a+1 e y+2b+1 dois inteiros ímpares, sendo a e b inteiros. Então, x[math]\cdot[/math]y= (2a+1)(2b+1), isso advém da igualdade inicial. Aplicando a propriedade distributiva, obtemos que x[math]\cdot[/math]y = 4ab+2a+2b+1. Podemos por o fator comum 2 em evidência, resultando em x[math]\cdot[/math]y = 2(2ab+a+b)+1. Por fim, basta notar que 2ab+a+b é um inteiro, pois a adição é fechada nos inteiros (não há como somar dois inteiros e o resultado ser não inteiro). Logo, existe um c inteiro tal que x[math]\cdot[/math]y = 2c+1, onde c = 2ab+a+b. Portanto, o produto de dois ímpares é sempre ímpar, como queríamos mostrar.[/justify]

Dizemos que um inteiro não nulo x divide um inteiro y se, e somente se, existe um inteiro z tal que xz=y. Agora, podemos prosseguir:[br][br] Demonstração:[br][br] Por hipótese, a divide b e b divide c. Assim, pela definição de divisibilidade, existem inteiros x e y tais que:[br][br] 1) ax=b[br] 2) by=c[br][br] Substituindo b=ax da primeira igualdade na segunda, obtemos:[br][br] (ax)y = c. Como o produto é associativo nos inteiros, vale que a(xy) = c, onde xy é um inteiro. Isso nos garante que a divide c (definição de divisibilidade).

[justify] No applet anterior, estão destacados dois pares ordenados: (1, f(1)), (5, f(5)). Quando o coeficiente b é igual a zero, uma situação interessante acontece: parece que para qualquer valor de a, sempre teremos o seguinte cenário: se a função calculada em opostos gera opostos. Será que conseguimos generalizar isso para toda função linear (afim com b=0)? [br] Definição: uma função f é ímpar se para todo elemento x de seu domínio, vale que f(x) = -f(-x).[/justify]

[justify] Precisamos, basicamente, mostrar que toda função linear é ímpar. Sendo assim, seja h uma função linear. Assim, para todo elemento x de seu domínio, h(x) = ax, para algum a diferente de zero. Note que, sendo -y e y elementos opostos quaisquer do domínio de h, vale que:[br][br] h(y) = ay e [br] h(-y) = a(-y) = -ay, logo, -h(-y) = -(-ay) = ay.[br][br] Portanto, h(y) = ay = -h(-y), ou seja, h é uma função ímpar.[/justify]