KÚPSZELETEK
parabola, ellipszis, hiperbola koordináta-geometriája
Table of Contents
- Parabola
- PARABOLA DEFINÍCIÓJA, TENGELYPONTI EGYENLET
- y TENGELLYEL PÁRHUZAMOS TENGELYŰ PARABOLA EGYENLETE
- x TENGELLYEL PÁRHUZAMOS TENGELYŰ PARABOLA EGYENLETE
- Ellipszis
- ELLIPSZIS DEFINÍCIÓJA
- Hiperbola
- HIPERBOLA DEFINÍCIÓJA
- Kúpszeletek
PARABOLA DEFINÍCIÓJA, TENGELYPONTI EGYENLET
[size=200]A parabola egy adott F ponttól (fókuszpont vagy gyújtópont) és egy, ezen a ponton át nem menő v egyenestől (vezéregyenes) egyenlő távolságra levő pontok mértani helye a síkban. A fókuszpont és a vezéregyenes távolsága a parabola paramétere (p).[/size]
1. feladat
[size=150]Szerkeszd meg a parabola néhány pontját![br]Húzz a vezéregyenessel egy általad választott távolságban párhuzamost, majd ekkora a távolsággal, mint sugárral a fókuszpontból, mint középpontból rajzolj kört! Az egyenes és a kör metszéspontja a parabola egy pontja lesz.[br]Szerkessz meg legalább 8 pontot![br]A távolságot a négyzetrácsok segítségével mérd![/size]
2. feladat
[size=100][size=150]A parabola egy tengelyesen szimmetrikus alakzat, a parabolának a tengelyre eső pontját tengelypontnak nevezzük.[br]Húzd a T pontot a tengelypontra! Ha jó helyre húztad, akkor zöld színűvé válik.[br]Fogalmazd meg, hogy a vezéregyenes és a fókuszponthoz képest hol helyezkedik el a tengelypont![/size][/size]
3. feladat
[size=150]Helyezzük el a parabolát a koordináta-rendszerbe, és írjuk fel az egyenletét![br]Először legyen a tengelypont az origó![br][/size][size=150]1. lépés: Írd fel az F fókuszpont koordinátáit a p paraméter segítségével![br]2. lépés: Írd fel az FP távolságot az F és a P(x;y) koordinátáival![br]3. lépés: Az ábra segítségével írd fel a P és a v vezéregyenes távolságát y és p segítségével! (A P pontot mozgathatod!)[br]4. lépés: Tedd egyenlővé a két távolságot, végezd el a műveleteket és az összevonásokat![br]5. lépés : Hasonlítsd össze a számolásodat a képen található parabola egyenletével![/size]
ELLIPSZIS DEFINÍCIÓJA
[size=150]Az ellipszis olyan pontok halmaza a síkban, melyek két adott ponttól, a fókuszpontoktól mért távolságok összege a két adott pont távolságánál nagyobb állandó.[/size]
[size=150]Rajzoljunk ellipszist![br]Adott a két fókuszpont: F[sub]1[/sub] és F[sub]2[/sub], valamint a távolságuknál nagyobb 2a távolság. [br]A csúszkán az F[sub]1[/sub]-től mért r[sub]1[/sub] távolságot változtathatod, ezzel mint sugárral rajzolunk egy kört, míg az F[sub]2[/sub] -ből r[sub]2[/sub]=2a-r[sub]1[/sub] sugarú kört rajzolunk. A két kör metszéspontja a két fókusztól összesen r[sub]1[/sub]+r[sub]2[/sub]=2a távolságban lesz. A metszéspontok kirajzolják az ellipszist.[br]Ha bepipálod az ellipszis négyzetet, akkor megjelenik az ellipszis teljes görbéje.[br][/size][size=150]Keresd meg az ellipszisben a 2a távolságot![br][br]Állítsd vissza az kiinduló állapotot, változtasd meg a 2a távolságot, és rajzolj új ellipszist![/size]
HIPERBOLA DEFINÍCIÓJA
[size=150]A hiperbola olyan pontok halmaza a síkban, melyek két adott ponttól, a fókuszpontoktól mért távolságuk különbségének abszolútértéke állandó.[/size]
[size=150]Rajzoljunk hiperbolát![br]Adott két fókuszpont F[sub]1[/sub] és F[sub]2[/sub], valamint a két fókuszpont távolságánál kisebb állandó 2a.[br]A csúszkával az F[sub]1[/sub]-től mért r[sub]1[/sub] távolságot változtathatod, ezzel a sugárral kört rajzolunk, az F[sub]2 [/sub]fókuszból pedig r[sub]2[/sub]=r[sub]1[/sub]+2a sugarú kört, valamint egy r[sub]2[/sub]=r[sub]1[/sub]-2a sugarú kört. Az r[sub]1[/sub] és r[sub]2[/sub] sugarú körök metszéspontjainak a két fókusztól mért távolságok különbségének abszolútértéke |r[sub]2[/sub]-r[sub]1[/sub]|=2a. Ezek a metszéspontok kirajzolják a hiperbolát.[br]Ha bepipálod a hiperbola négyzetet, akkor megjelenik a teljes hiperbola görbe.[br]Keresd meg a hiperbola ábráján a 2a távolságot![br]Állítsd vissza a kiinduló állapotot, változtasd meg az állandó nagyságát, majd rajzolj új hiperbolát![/size]