Képeskönyv a poliéderekről
Ez a GeoGebra Book a szerző szándéka szerint valóban csak egy képeskönyv, amely ismert és kevésbé ismert térgeometriai formákat tár olvasói elé, a síklapokkal határolt mértani testek/felületek -röviden poliéderek - témakörére szorítkozva. Képeskönyv nem csak abban az értelemben, hogy képek - jelen esetben mozgatható GeoGebra appok - találhatók benne, hanem abban az értelemben is, hogy az olvasók tallózgatva lapozhatnak az egyes anyagok között, de olykor alaposabban elmélyedhetnek egy-egy érdekesnek tűnő téma részleteiben.
Table of Contents
- Alapok
- Alapfogalmak
- Háromszög - tetraéder
- A tetraéder középgömbje
- Magasságpont(ok)
- Egyszerű poliéderek
- A Kocka() parancs és társai
- Szabályos, félig szabályos és egyéb nevezetes poliéderek
- Tórusz-szerű poliéderek
- 7 lapú szabályos toroid
- 8 lapú szabályos toroid
- 9 lapú szabályos toroidok
- 10 lapú szabályos toroidok
- 11 lapú szabályos toroid
- 12 lapú szabályos toroidok
- 13 lapú szabályos toroidok
- 14 lapú szabályos toroidok
- 15 lapú szabályos toroidok
- 24 lapú szabályos toroidok
- Csecse-becse
- Legyen adott...
- A gömbre vonatkozó polaritás és alkalmazása
- A Császár poliéder
- A hétlapú poliéderről
- Ilyen állat nincs!
- Tetraéderekre bontható-e minden poliéder?
- Bontsuk a kockát...
- Egy térkitöltő poliéder
- Rupert herceg problémája.
- 12 hasáb
- A kocka 11 hálója
Alapfogalmak
Ez itt egy hexaéder (= hatlapú poliéder)
[i][url=https://mathworld.wolfram.com/Hexahedron.html]Hexaéder[/url][/i]nek nevezzük az összes olyan egyszerű poliédert, amelyet hat egyszerű sokszög határol. Ezek közül legismertebb a kocka. A legkevésbé ismert közülük talán a fenti, az un. [i][url=https://mathworld.wolfram.com/Hemiobelisk.html]hemiobelix[/url][/i]. [br][br]Bár joggal feltételezhető olvasóinkról, hogy a poliéderekkel kapcsolatos alapfogalmakat ismerik, azonban szükséges lehet ezek összefoglalása, amely az alábbi pdf fájlokban olvasható.[br]
Egy egyszerű poliéder
A poliédereknek egyértelmű megadásának a GeoGebrában leggyakrabban alkalmazott módja az, hogy[br][list][*]megadjuk a csúcsainak a koordinátáit;[/*][*]megadjuk az összes lapját az egy lapra eső csúcsok ciklikus felsorolásával.[/*][/list][br]Az alábbi poliédert a csúcsainak a koordinátáit felsoroló [b]V[/b] és a kombinatorikus szerkezetét meghatározó [b]F[/b] listával adtuk meg. Ezeket felhasználva maga a megjelenítés egyetlen utasítással megoldható. [br]Ez az egy soros utasítás, amely a megjelenített [b]Lapok[/b] nevű geometriai objektumot előállítja, eléggé tömör, így igényel némi elemzést:[br][br][b]Lapok=Sorozat( [/b] # a sorozat az [i]F [/i]lista összes elemét, vagyis a megjelenített lapokat tartalmazza;[b][br] Sokszög( [/b]# egy sokszöget a csúcsokat tartalmazó sorozattal adtunk meg;[b][br] Sorozat( [/b]#a csúcsokat a [i]V[/i] listából vettük[b] [br] Elem(V,Elem(F,i,j)), [/b]# Egy pont az i -edik lap j-edik pontja.[b][br] j,1,Hossz(Elem(F,i)))),[br] i,1,Hossz(F)) [br][br][/b]Megjegyezzük, hogy a GeoGebra korábbi változatában a [i][b]V[/b] [/i]lista egy pontját az [b]Elem(V,Elem(Elem(F,i),j)[/b] utasítással lehetett kijelölni.
P 01
Ez a tömör megfogalmazás természetesen csak akkor "működik", ha a megadott adatok megfelelőek.[br]Ezt a kérdést később fogjuk elemezni.[br]Az itt bemutatott megadási mód a legtöbbször nem eléggé felhasználóbarát: nem használja ki eléggé a GeoGebra lehetőségeit. Ezért ugyanezt a konstrukciót lássuk el egyre több kiegészítéssel:[br][list][*]az [b]N=Sorozat(Szöveg(i, V(i)), i, 1, Hossz(V)) [/b]paranccsal "megszámoztuk" a csúcsokat a [i]V [/i]listában megadott sorrendben, ezzel követhetővé vált, hogy egy-egy lapot milyen sorszámú csúcsok milyen sorrendben felsorolva állítanak elő; [/*][*]a [b]MásolásOszlopba(1,F)[/b] paranccsal átírtuk az [i]F[/i] listát a a táblázatkezelő első oszlopába;[/*][*]a [b]B1=Sokszög(Sorozat(Elem(V, Elem(A1, i)), i, 1, Hossz(A1))) [/b]paranccsal előállítottuk az első lapot, majd a [i]B1[/i] elem "lehúzásával" az összes többi lapot előállítottuk az A1 és a B1 elem kapcsolatát "örökítve" a többire.[br]Pl. [b]B2=Sokszög(Sorozat(Elem(V, Elem(A2, i)), i, 1, Hossz(A2))) [/b], stb.[br] Ezzel minden lap külön-külön kezelhetővé vált, pl. beállítható lett a színe, áttetszősége, vezérelhető a láthatósága.[/*][/list]Ugyanakkor még nem változtathatók a csúcsok koordinátái. Mivel az a applet parancssora elérhető felhasználóink számára, az alábbi két paranccsal ez is megoldható. [br][list][*][b]MásolásOszlopba(3,V)[/b] -ezzel a harmadik ( [i]C [/i]) oszlopában is megjelennek a poliéder csúcsai;[/*][*][b]V=C1:C7[/b] - ezzel visszatesszük a [i]C[/i] oszlop pontjait a megjelenítéshez használt [i]V[/i] listába. [/*][/list] Mint ha mi sem történt volna. De történt: most már egyenként változtathatók az egérrel, vagy a parancs sorban a poliéder koordinátái. [br]
Egy sokszög a térben
Feltételezzük, hogy ismerik olvasóink a [b]Sokszög()[/b] eljárással megadható geometriai objektumok tulajdonságait, amely egyaránt alkalmazható síkbeli, vagy térbeli pontokkal adott sokszögek felvételére. Ha a pontok a felvett sorrendben önátmetsző sokszöget alkotnak, akkor azt ennek megfelelően rajzolja meg a az eljárás. Ha azonban a sokszög pontjai nincsenek egy síkban, akkor a sokszöget nem definiáltnak tekinti. [br]A kérdés az, hogy mennyire kell [u]pontosan[/u] egy síkban lenniük egy térbeli sokszög csúcsainak.[br][br]Próbáljuk ki. Miután megoldottuk, hogy a [i]C[/i] oszlop pontjai alkossák a poliédert, a parancssorba írjuk be például a [b] C3=(1,2,-1+1E-10) [/b]majd a [b] C3=(1,2,-1+1E-8) [/b]parancsot , vagyis a 3. sorszámú csúcs [i]z[/i] koordinátája előbb [i]10[sup]-10[/sup][/i] majd [i]10[sup]-8[/sup][/i] pontossággal térjen el a [i]-1 [/i]értéktől. Ez az utóbbi pont már nem illeszkedik sem a [i]{2,1,4},[/i] sem a[i] {4,5,6,7}[/i] síkra. Ugyanis a GeoGebra akkor tekint két pontot azonosnak, ha a koordinátáik legalább 10[sup]-9 [/sup]pontossággal azonosak, függetlenül attól, hogy hány tizedesjegynyi pontosan jelenítjük meg.
Dinamikusan
Bővítsük tovább ezt a programot azzal, hogy a poliéder egyértelmű megadásához elegendő csúcspontok legyenek változtathatók. Az alábbi appletben sötétkékkel jelöltük meg azokat a pontokat, amelyek tetszőlegesen változtathatók, türkizzel azokat, amelyek mozgathatók ugyan, de valamilyen kényszerpályán.[br]Konkrétabban:[br][list][*]legyen [b]C3[/b] és [b]C7 [/b]a ([b]C4,C5,C6) [/b]sík egy-egy pontja - Ezzel elértük, hogy a {3,4,5,6,7} ötszög pontjai egy síkban legyenek, függetlenül attól, hogy az ötszög melyik pontját mozgatjuk meg.[br](Ezt most úgy oldottuk meg, hogy a [b]C3 [/b]és[b] C7[/b] pontok egy-egy olyan egyenesen mozogjanak: amelyek párhuzamosan mozognak a [b](C5,C4)[/b] ill. a [b] (C5,C6)[/b] egyenesekkel. Ennél - elvileg - egyszerűbb lett volna, ha a [b]BelsőPont(Sík(C4,C5,C6)) [/b]paranccsal adjuk meg a mozgási lehetőségeiket. De ekkor nehezebben követhető, hogy hova kerül a[b] C3 [/b]és a [b]C7[/b] pont, ha a [b]C4[/b], [b]C5,[/b]vagy [b]C6[/b] pont bármelyikét - így a síkjukat is - elmozdítjuk a térben.)[/*][*][b] l[/b]egyen [b]s_3=Sík(C1,C4,C3)[/b] ; [b]s_7=Sík(C6,C6,C7)[/b] ; [b]f=UtakMetszete(s_3,s_7)[/b] ; [b]C2=Pont(f) [br][/b]- Ezzel elértük, hogy a poliéder két négyszöglapja síkbeli négyszög legyen.[/*][/list]A poliéder pontjainak a mozgatásakor könnyen előfordulhat, hogy a két négyszög és az ötszöglap önátmetszővé válik. Ezek az esetek megfelelő logikai változókkal kiszűrhetők. Hogy miként, azt olvasóinkra bízzuk.
Emlékeztető
Egy poliéder [i]közönséges, [/i]ha minden lapja egyszerű sokszög, bármely két lapjának legfeljebb két közös pontja van, és ha pontosan kettő van, akkor van pontosan egy közös éle is. Röviden: ha a lapjainak az előírtakon kívül nincs közös pontja.[br][br]A fenti appletekben többféleképpen előállított poliéder [i]egyszerű [/i]is, vagyis ez a poliéderfelület folytonos deformálással gömbbé alakítható.[br][br]Figyeljük meg az alábbi appletet: látszólag csak abban tér el az előzőtől, hogy a [b]C2[/b] pont is a tér bármely pontja lehet, vagyis nem követeljük meg, hogy az[b] {1,2,3,4}[/b] és az [b]{1,6,7,2}[/b] pontok síkbeli négyszöget alkossanak. Így ez a poliéder - alaphelyzetében - egy hexaéderré fajuló [i]oktaéder [/i](= 8 lapú poliéder), amelynek egy ötszög és hét háromszöglapja van.[br][br]A [b]C1.[/b], vagy [b]C2.[/b] csúcsot tudjuk úgy mozgatni a térben, hogy a háromszöglapok egymással, vagy az ötszöglappal [i]ütközzenek, [/i]azaz legyenek közös belső pontjaik (szakaszaik), amelyek nem élei a poliédernek. [br]Ha ez bekövetkezik, akkor a konstrukció már nem tekinthető közönséges poliédernek: a felület [i]önátmetsző, [/i]noha minden lapja egyszerű sokszög.[br][br](A GeoGera fájlok szerkesztése iránt alaposabban érdeklődő olvasóink töltsék le az alábbi appletet, és figyeljék meg azt a fogást, hogy a négyszögeket háromszögekké daraboló átlók csak akkor láthatók, ha a csúcsai nincsenek egy síkban.)[br][br]Összegezve tehát azt mondhatjuk, hogy minden közönséges poliéder csúcsait úgy [u]kell[/u] megadnunk, hogy[br][list][*] az egy-egy lapot meghatározó csúcsok egy síkba essenek;[/*][*]a lapok ne legyenek önátmetszők;[/*][*]a poliéderfelület ne legyen önátmetsző, vagyis a lapok [u]ne ütközzenek[/u]. [/*][/list][br]Megjegyezzük, hogy az itt elemzett hemiobelix[sup]*[/sup] nevű poliédernek ha nem önátmetszők a lapjai, akkor a felülete sem az, lehetséges ütközés demonstrálására kellett oktaéderré alakítanunk. [br][br][sup]*[/sup][size=85]E sorok írója ennek ez anyagnak az írása közben ismerte meg ezt az elnevezést. E név megjegyzését egyáltalán nem tartja fontosnak. A lapok száma szerinti görög eredetű elnevezéseket: a [i]tetraéder[/i] (4 lap)[i], pentaéder [/i](5 lap)[i] , hexaéder [/i](6 lap),[i] heptaéder[/i] (7 lap)[i], oktaéder [/i](8-lap), stb. elnevezések többnyire elegendőek egy [i]poliéder[/i] (soklap) család azonosításához.[/size]
Az egyszerű poliéderek kombinatorikus szerkezete.
Mint láttuk, egy poliéder egyértelmű megadásához egyrészt meg kell adnunk a csúcsok koordinátáit, - ez volt a [b]V{} [/b]lista - másrészt a poliéder kombinatorikus szerkezetét - ez most az [b]F{}[/b] lista. [br]A feladat jellege határozza meg, hogy melyiket célszerű előbb megadnunk. [br]Most vegyük szemügyre alaposabban a fenti poliéder szerkezetét meghatározó [b]F{}[/b] listát:[br][i]F:={[br] {3, 4, 5, 6, 7},[br] {4, 3, 2, 1}, [br] {1, 6, 7, 2},[br] {2, 3, 7},[br] {1, 5, 4},[br] {1, 6, 5}[br] }:[/i][br]Az nyilvánvaló, hogy a listában felsorolt lapok sorrendje tetszőleges, sőt az is, hogy egy-egy lap csúcsainak a [u]ciklikus sorrendje[/u] szintén. Pl . a[i] {3,4,5,6,7}[/i] , [i]{5,6,7,3,4}[/i] vagy [i]{6,5,4,3,7}[/i] ugyanazt az ötszöget határozza meg.[br]Figyeljük meg, hogy a szomszédos számok - ahol az első és utolsó is szomszédos - a poliéder éleit határozzák meg. Így, mivel egy közönséges poliéder bármely élére pontosan két csúcs és pontosan két lap illeszkedik, minden szomszédos számpárt pontosan két lapban találunk meg. Jelen estben ellentétes sorrendben. Ez biztosítja, hogy a poliéder lapjai "kívülről nézve" azonos - jelen esetben negatív - körüljárásúak. Ennek olykor a megjelenítésben van jelentősége.[br][br]Ezzel együtt nem mondhatjuk, hogy az így megadott kombinatorikus szerkezet, mint matematikai objektum kellően szemléletes. Szemléletessé az egyszerű poliéder kombinatorikus hálózatának - élhálózatának, [i] [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Schlegel_diagram]Schlegel-diagram[/url][/i]jának - a megrajzolásával tehető. Ezekre a síkgeometriai alakzatokra használatos még az absztrakt poliéder elnevezés is.[br][br]Képzeljük el, hogy a vizsgált (egyszerű) poliéderünk gumiból van: tetszőlegesen deformálható. Egy kiválasztott lapját ráillesztjük a síkra, majd akkorára "nyújtjuk", hogy az összes többit folytonos deformálással erre levetíthessük úgy, hogy azok ne fedjék egymást, majd a kiválasztott lapot "kifordítjuk", vagyis a síknak a sokszög vonalán kívüli részét tekintjük egy lapnak.
A hemiobelix négy Schlegel-diagrammja
Akit érdekel,[url=https://demonstrations.wolfram.com/SchlegelDiagrams/] itt elő tudja állítani [/url]az összes, legfeljebb 10 csúcsú és 6 lapú poliéder Schlegel-diagramját, így az itt látott [i]hemiobelix[/i]ét is.
Egy egyszerű - pl. konvex - poliédernek annyi ránézésre különböző Sclegel-diagramja lehet, ahány lapja van. Természetesen ezek mindegyike ugyanazt a kombinatorikus szerkezetet reprezentálja. [br][br][br]Nem könnyű ellenőrizni, hogy pl. a fenti négy diagram ugyanarról a poliéderről készült-e, különösen, ha nem jelöljük meg a csúcsokat számozással és a lapokat pl. színezéssel vagy ugyancsak számozással. [br][br]Ezek a rajzok lényegében síkba rajzot gráfok. Részletesebben: [br][br][list][*][i]Gráf:[/i] Pontokból - a gráf [i]csúcsai[/i]ból, , és e pontokat összekötő folytonos vonalakból - gráf [i]élei[/i]ből- álló geometriai alakzat.[/*][*][i]Síbeli gráf (síkra feszített gráf)[/i]: amelynek a csúcsai és élei egy síkra illeszkednek úgy, hogy az élek nem metszik egymást. Egy síkbeli gráf a síkot [i]tartományokra[/i] osztja, ahol egy-egy tartomány belső pontjai összeköthetők olyan folytonos vonallal, amelynek nincs közös pontja a gráffal. Két tartomány [i]szomszédos[/i], ha van közös élük. [/*][/list]Bizonyítható, hogy [br][list][*]minden [i]véges[/i] - véges sok csúcsból és élből álló - síkbeli, [b]C[/b] csúcsú, [b]E[/b] élű és [b]L[/b] tartományú gráfra érvényes a [b]C+L-E=2[/b] összefüggés amely [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Euler-f%C3%A9le_poli%C3%A9dert%C3%A9tel] Euler poliéder tételének[/url] egy általánosabb megfogalmazása; [/*][*]minden egyszerű poliéder élhálózata egy [i]háromszorosan összefüggő gráf[/i]: olyan véges gráf, amelynek bármely két csúcsát az oda befutó élekkel együtt eltávolítva a megmaradt gráf összefüggő marad;[/*][*]bármely háromszorosan összefüggő síkbeli gráf realizálható olyan konvex poliéderként melynek az élhálózata ez a gráf.[/*][/list] [br]Például - akit érdekel -[url=https://demonstrations.wolfram.com/SchlegelDiagrams/] itt elő tudja állítani [/url]az összes, legfeljebb 10 csúcsú és 6 lapú poliéder Schlegel-diagrammját, így az itt látott [i]hemiobelix[/i]ét is.[br][br]Feltételezzük, hogy igényesebb olvasóink nem elégednek meg a fenti összefüggés felvillantásával, az alábbi pdf fájlban megtalálják az Euler tétel alaposabb kifejtését.[br][br]
Euler poliéder tétele
Egy kis (?) házi feladat:
A lapok és csúcsok számának a növelésével gyorsan növekszik az esetek száma, és egyre nehezebb eldönteni, hogy két háromszorosan összefüggő síkbeli gráf - Schlegel-diagram - különbözőnek tekinthető-e. [br][br]Probléma-orientált olvasóink számára felkínálunk egy ilyen feladatot: keressenek olyan egyszerű poliédereket, amelyet [b]L[sub]3[/sub]=3[/b] háromszög [b]L[sub]4[/sub]=4[/b] négyszög és[b] L[sub]5[/sub]=1[/b] ötszög határol, és a csúcsai közül [b]C[sub]3[/sub]=6[/b] csúcsbába három-három, és [b]C[sub]4[/sub]=3[/b] csúcsába négy-négy él fut be. Így a lapok száma [b]L=L[/b][sub]3[/sub][b]+L[/b][sub]4[/sub][b]+L[/b][sub]5[/sub][b]=8 -[/b] tehát oktaédereket eresünk- , a csúcsok száma [b]C=C[/b][b][sub]3[/sub]+C[/b][b][sub]4[/sub]=9.[/b] Vajon hány egymástól különböző kombinatorikus szerkezet rendelkezik ezekkel az adatokkal? [br][br]Aki ehhez hozzáfog, minden bizonnyal először egy megfelelő Sclegel-diagrammot keres, majd ehhez egy ennek megfelelő poliédert. Sőt: azzal kezdi, hogy ellenőrzi: stimmel-e a leltár: az élek számát a lapok számából és a lapok oldalszámaiból, ugyanígy a csúcsok számából és azok fokszámaiból is ki lehet számolni:[b] 3L[sub]3[/sub]+ 4L[sub]4[/sub]+5L[sub]5[/sub]=3C[sub]3[/sub]+4C[sub]4 [/sub]=2E[/b] , továbbá- mint minden egyszerű poliéderre - erre is teljesülnie kell [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Euler-f%C3%A9le_poli%C3%A9dert%C3%A9tel]Euler poliéder tételének[/url]: [b]C+L -E=2 [/b].[br][br]Megjegyezzük, hogy az [b]L=8 [/b] lapú egymástól különböző kombinatorikus szerkezetű egyszerű poliéderek -azaz oktaéderek - száma [b]275[/b] ,ezek közül [b]74[/b]-nek van [b]C=9 [/b]csúcsa. [url=https://acta.bibl.u-szeged.hu/18152/]Aki nem hiszi, járjon utána.[/url] Vagy [url=https://archive.org/details/vieleckeundvielf00bruoft]ennek az 1900- ban kiadott könyv[/url]nek lapozzon a végére. [br][br]Feltehetően sikerült meggyőzni olvasóinkat arról, hogy az egyszerű poliéderek témaköre nem is olyan egyszerű. De szép.
A Kocka() parancs és társai
Egy tetszőleges poliédert a csúcsok élek és lapok egyértelmű megadásával jeleníthetünk meg a Geogebrában. A szabályos poliéderek megadásának van ennél egyszerűbb (??) megadási módja is: a GeoGebra parancsai között. Elegendő megadnunk két szomszédos csúcsukat.[br]Ezt e megadási módot fogjuk itt röviden bemutatni, amit azonban csak arra az esetre ajánlunk olvasóinknak, ha hirtelen felindulásból egy pillanat alatt a képernyőre szeretnénk varázsolni egy - egy szabályos poliédert
A Kocka()
Vegyünk fel (akár a találomra) két pontot [b]A[/b]-t és[b] B[/b]-t,majd írjuk be a parancssorba a [b]Kocka(A,B) [/b]parancsot! Ezzel máris megjelenik a GeoGebra 3D terében egy kocka, amelynek két szomszédos csúcsa [i]A[/i] és[i] B [/i]
Mi történt?
Ha egy üres munkalapról indulva írtuk be a parancsot, akkor megjelent egy szokásos betűzésű kocka, amely egyik lapjának csúcsai rendre [i]A, B, C [/i]és [i]D[/i] , a vele szemközti lapé [i]E, F, G, [/i][i]H[/i] - ahogy megszoktuk. Az algebra ablakban csak ez a két pont és a beírt parancs van.[br][br]A háttérben (mellékalakzatként) azonban ott vannak a kocka további 6 csúcsának 6 lapjának és 12 élének az adatai. Közülük a [i]C[/i] pont egy olyan körön mozgatható, amelynek a sugara [i]AB[/i], középpontja [i]B[/i] és síkja merőleges [i]AB[/i]-re: [b]C=Pont(Kör(B, Távolság(A, B), Szakasz(A, B)))[br][/b]A kocka további csúcsait rendere a [b]Kocka(A,B,C)[/b] parancs határozta meg.[br][br]A GeoGebra [b]Kocka()[/b] parancsának az alkalmazásakor megengedett három pont megadása is, ebben az esetben viszont teljesülnie kell annak, hogy a három pont egy egyenlő szárú, derékszögű háromszöget alkosson, ahol a parancs középső pontja a derékszögű csúcs.[br][br]Három így megadott pontra két olyan kocka is illeszthető, amelynek ezek a szomszédos csúcsai. Ezek közül azt kapjuk eredményül amelyre a [u]BA[/u], [u]BC[/u] és [u]BF[/u] egymásra páronként merőleges vektorok jobbsodrású rendszert alkotnak: a három e sorrendben felsorolt vektorra a jobb kezünk hüvelyk, mutató és középső ujját tudjuk ráilleszteni. Így az [i]A ,B, C[/i] pontokra illesztett másik kockát a [b]Kocka(C,B,A) [/b]paranccsal kapjuk meg.[br][br] A [b]Kocka()[/b] parancs harmadik bemenő adata lehet egy vektor is. Ennek a lehetőségnek a felderítését olvasóinkra bízzuk.
Legyünk egy kicsit igényesebbek!
Adjuk meg a kocka három csúcsát úgy, hogy a [b]Kocka() [/b]parancs azt a kockát adja eredményül, amelynek a középpontja az origó, továbbá egyik csúcsa legyen az [i](1,1,1)[/i] pont![br]Ehhez elegendő egyetlen parancs: [b]Kocka((-1,1,1),(1,1,1),(1,-1,1))[/b] [br][br]Így azonban a kockát meghatározó pontokra nem tudunk hivatkozni. Ezért célszerű előbb felvennünk a [u]fix[/u] [b]A=(-1,1,1), B=(1,1,1), C=(1,-1,1) [/b]pontokat, majd ezt követően a [b]Kocka(A,B,C)[/b] parancsot.[br]
Az öt szabályos poliéder
Hasonlóan két - két ponttal meg tudjuk adni a többi [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Szab%C3%A1lyos_test]szabályos poliéder[/url]t is, rendre a [b]Teraéder(), Oktaéder(), Dodekaéder(), Ikozaéder() [/b] parancsokkal. [br]Figyeljük meg, hogy a kiválasztott poliéder egyértelmű megoldásához szükséges harmadik pontot egy-egy kör pontjakként kapjuk meg. Ez a tetraéder, oktaéder é az ikozaéder esetében ugyanaz: mindhárom poliédert ugyanarra a háromszögre építettük fel. Egyedül a dodekaéder egy lapjára illeszkedő harmadik csúcs megadása igényel kissé mélyebb ismereteket.
Hol a közepe?
Fokozzuk az igényeket! [br]Most rendre úgy fogjuk megadni a szabályos poliédereket, hogy mindegyikre teljesüljenek az alábbi feltételek. [br][list][*]a középpontja legyen az origó;[/*][*]A koordináta síkok legyenek a szimmetria síkjai (ha lehetséges).[br][/*][/list]A zárójeles feltételre azért van szükség, mert a szabályos tetraédernek csak két szimmetriasíkja van. [br] [br]
7 lapú szabályos toroid
Lapok száma: 7 (= 2∙3+1)[br]Csúcsok száma: 14[br]Élek száma: 21
Némi segítség...
az alábbi, valamint a további 8, 9, ....15, 24 lapú poliédereket bemutató appletek kezeléséhez.[br][b]n[/b]: a bemutatott változatok száma;[br][b]k[/b]: a bemutatott változatok kombinatorikus típusainak a száma. [br][b]□ [/b][b]□[/b] : kapcsolók, amelyek azt szabályozzák, hogy a poliédernek csak a külső, vagy csak a belső része legyen látható. (Ha mindkettő[i] true[/i], akkor két különböző,ha mindkettő [i]false[/i], egy egységes harmadik szín jellemzi a lapokat.[br]□ : kapcsoló, amely a poliéder forgás-szimmetriáját mutathatja be.[br][br]A lapok száma egybevágóság szerint részletezve (= 2∙3+1) : két-két példány három féle és egy egyedi.
Legyen adott...
Mottó
[i]"Van, amit el tudok képzelni, és le tudok rajzolni. Van, amit el tudok képzelni, de nem tudok lerajzolni. De tudnék-e olyat rajzolni, amit nem tudok elképzelni? Ez nagyon érdekel."[br][right][url=http://utisz-utisz.blogspot.com/]Orosz István[/url][/right][/i]
Legyen adott egy kocka... és ... egy (szabályos) oktaéder!
Számtalan matematikai és egyéb probléma kezdődhet így. Mit jelent az, hogy [u]adott[/u]? [br]Vegyük a kezünkbe egy modelljét, tegyük az asztalra, rajzoljuk le, esetleg egy-egy zsinórra felfüggesztve, mint azt Leonardo tette? Vagy csak képzeljük el, hogy "ott van" a szemünk előtt?
A "[i]Legyen adott... [/i]" kezdetű mondatot értelmezve fel kell tételeznünk, hogy van egy közlő ([i]adó[/i]) egy befogadó ([i]vevő[/i]) és egy "[i]kommunikációs csatorna[/i]" amely arról gondoskodik hogy az adó és a vevő pontosan ugyanazt értse az átküldött "dolog" (fogalom, összefüggés, kapcsolat, stb.) alatt. Maga a "csatorna" lehet egy rajz, leírás, de akár egy egyértelműen megadott számokból álló struktúra (számítógépi program) is, ha a "csatorna" éppen egy számítógép, amely jól -rosszul közvetít az adó és a vevő között.[br][br]Ha például a GeoGebra eszköztárát választjuk a címben említett két objektum megjelenítésére (megadására), és befogadására (szemlélésére), és ezt nem szeretnénk elintézni két beépített paranccsal, két egymástól jól elkülöníthető adatszerkezetet kell megadnunk. a program számára. Különösen akkor, ha e két objektum közötti kapcsolatot szeretnénk elemezni. [br] [br]Először meg kell adnunk a csúcsaik koordinátáit - a GeoGebra koordináta rendszerében-, majd a (kombinatorikus) szerkezetüket, vagyis azt, hogy a megadott pontokat milyen sorrendben megadva kapjuk meg a két objektum lapjait, éleit. Ez történhet fordított sorrendben is - mint jelen esetben, ha a csúcsaik valamilyen módon függenek egymástól. A vevő - jelen esetben e sorok érdeklődő olvasója - megelégedhet a kapott látnivalókkal, amelyeket "interaktívan beavatkozva" módosíthat, alaposan megismerhet. Sőt, ha nagyon elszánt, felfedezhet olyan új összefüggéseket is, amelyekre az "adó" - e sorok írója - talán nem is gondolt. [br][br]Minden további fontoskodás helyett nézzük a konkrétumokat. :-)[br][br]Bár a geometriában nincs "fent és lent" azért mégis célszerű ezeket az adatokat praktikus módon felvenni, mint azt Leonardo tette. A modelljeit "felfüggesztve" kijelölte a fent és lent irányát, majd a felfüggesztési pontok gondos kiválasztásával az erre merőleges "vízszintes" síkokat is.[br][br]Nekünk a GeoGebra 3D-s koordinátarendszeréhez kell igazodnunk. Legyen a két alakzat középpontja az origó, a kocka tengelyei legyenek párhuzamosak a koordináta-rendszer tengelyeivel, az oktaéder átlói legyenek a tengelyek.[br][br]Az alábbi GeoGebra fájlban máris adunk egy kis feladatot olvasóinknak: alaphelyzetben csak egy pontot látnak. Ezt kicsit megmozgatva az egérrel, találják ki, hogy minek mi a hatása!
Kocka - oktaéder
Vegyük észre, hogy...
... a fenti appleten lévő pontot mozgatva kiderül, hogy a feltáruló négyzeten mozgó [b][size=200][color=#9900ff]∘[/color][/size][/b] pont a megjelenő kocka és oktaéder, a négyzet oldalán mozgó [color=#0000ff]▶[/color] pont pedig egy gömb áttetszőségét vezérli.[br][br]Közismert, hogy a kocka lapjainak középpontjai egy szabályos oktaédernek, ennek a középpontjai egy kockának a csúcsai. Az appletben megjelent még egy csúszka is, amely mozgatásával a kockának és az oktaédernek egy rögzített, [i]r [/i]sugarú gömbhöz - így egymáshoz is - viszonyított mérete változik. Ezt a változást itt az [i]a*b=r[sup]2[/sup][/i] kapcsolat írja le, ahol [i](a,a,a)[/i] számhármasa kockának, [i](0,0,b)[/i] az oktaédernek egy-egy csúcsát határozza meg. [br] Ezzel egyértelművé tettük nem csak a magunk, hanem a GeoGebra programunk számára is, hogy miként [u]adott[/u] a kocka és vele együtt egy oktaéder.[br][br]A csúszkával "kitapogatható" az a speciális eset, amelyben a kocka és az oktaéder egymásnak megfelelő élei nem csak merőlegesek egymásra, hanem metszik is egymást. Ebben az esetben a kocka és az oktaéder [u]test[/u] közös része (metszete) az un. [i]kocka-oktaéder[/i]. [br][br]Ezt a félig szabályos poliédert is ismerte, lerajzolta Leonardo, mi több, Arkhimédész is.
Egy arkhimédészi poliéder: a kocka-oktaéder
A poliédereknek ezt a szabályos poliédereknél - a [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Szab%C3%A1lyos_test]platóni testek[/url]nél - kissé népesebb (13 tagú) családját, amelyeknek a lapjai szabályosak, de többféle lapjuk is lehet, testszögleteik viszont nem szabályosak, de egybevágók, [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Arkhim%C3%A9d%C3%A9szi_testek]arkhimédészi testek[/url]nek nevezik a matematikusok. Mi most azonban - ezt a szép témát (ideiglenesen) elengedve - más irányba fogunk kalandozni.[br]
A dualitásról
[br]Az első appletben a két szabályos poliédernek egy szorosabb kapcsolatát mutattuk be, ezek egymásnak az [i]r[/i] sugarú gömbbel megadott [i]duálisai.[/i] A poliéderek közötti duális kapcsolat ennél lényegesen általánosabb összefüggés. Erről itt juthatnak olvasóink kicsit[url=https://www.geogebra.org/m/hkhsv32r] részletesebb ismeretek[/url]hez.[br][br]Általánosabban egy-egy poliéder duálisának az előállítása két dolgot jelent:[br][list][*]meg kell keresni egy poliéder hálózatának (kombinatorikus szerkezetének) a duálisát, kihasználva, hogy az eredeti poliéder csúcsainak a keresett poliéder lapjai, lapjainak a csúcsai, éleinek az élei felelnek meg;[/*][*]meg kell adni egy olyan- többnyire egy gömbbel meghatározott - [i]térbeli polaritást[/i], amely a tér pontjaihoz síkokat, síkjaihoz pontokat, egyeneseihez egyeneseket rendel illeszkedéstartó módon, majd ezzel meg kell (kellene?) határozni a duális poliéder csúcsait.[/*][/list]Példaként nézzük meg az iménti kocka-oktaéder közötti duális kapcsolatot kissé általánosabban.[br][br]Az alábbi applet annyiban különbözik az előzőtől, hogy ha a jelölőnégyzettel bekapcsoljuk a szerkesztés lehetőségét, mozgatni tudjuk az oktaéder csúcsait. Ha ezt megtesszük, akkor az így kapott általános oktaéder duálisa egy kocka szerkezetű poliéder lesz, amely akár önátmetsző is lehet. A kezdő állapot a ↶ gombbal állítható vissza.[br][br]Minden esetre könnyen eljuthatunk addig a tapasztalatig, hogy a poliéderek és duálisaik kapcsolata olykor bonyolultnak tűnő, de mindenképpen szép összefüggés. [br][br]Ezzel megadhatók (lerajzolgatók) olyan geometriai alakzatok, amilyeneket talán el sem tudtunk képzelni.
Én a klónom vagyok
E sorok írója ezt a bizarr állítást az utcán olvasta egy játékos - talán filozofikus - hajlamú fiú pólóján. [br]Hmm. Aki ilyet állít magáról, és ezt közhírré is teszi, minden bizonnyal tud valamit a halmazelmélet és a logika [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Russell-paradoxon]antinómiáiról.[/url][br][br]Játsszunk mi is egy kicsit! Csak itt és most -házi használatra szánt - fogalomként vezessünk be néhány - a klónozásra hajazó - összefüggést. Itt most a klón szót a másolat, megkettőzés értelemben használjuk, ami [url=https://utisz-utisz.blogspot.com/2017/08/konyv-tukorben-ii.html]olykor tilos[/url], bár a matematikában kevésbé. Még talán örülhetünk is neki.[br][br]Nevezzünk egy poliédert k[i]lónozásra alkalmas[/i]nak, ha [i]p[sub]3[/sub][/i] háromszög, [i]p[sub]4[/sub][/i] négyszög,... [i]p[sub]n[/sub][/i] [i]n[/i]-szög lapja, és ugyancsak [i]p[sub]3[/sub][/i] háromélű, [i]p[sub]4[/sub][/i] négyélű, ... [i]p[sub]n[/sub][/i] [i]n[/i] élű csúcsa van. Ilyen például a szabályos tetraéder, általában az [i]n[/i] oldalú gúla, vagy az összes olyan tórusz-szerű poliéder, amelynek minden lapja négyszög és minden csúcsába 4 él fut be.[br] [br]Egy klónozásra alkalmas kombinatorikus szerkezetű, és alkalmasan megadott csúcsokkal egyértelművé tett poliéder [i]klónjának[/i] nevezzük azt, amelyhez [u]van olyan gömb[/u], amelyre vonatkozó polaritással előáll az eredetivel [u]egybevágó[/u] duális poliéder. Olykor igen nehéz feladat ilyen poliédert találni. Az is előfordulhat, hogy hiába alkalmas egy poliéder klónozásra, még sem tudjuk (esetleg nem is lehet) úgy megadni a csúcsait, hogy a duálisa a klónja legyen. [br][br]De van ennél nehezebb kérdés is. Vajon van-e olyan poliéder, amely [u]egybeesik[/u] a klónjával, mint ahogy ezt az említett fiatalember állította magáról?
Egy kis (?) segítség...
Először keressünk egy klónozásra alkalmas kombinatorikus szerkezetű poliédert.[br][br]Segítségért - tunya, melankolikus módon - mindjárt forduljunk az örök ifjú, [url=https://www.szepmuveszeti.hu/mutargyak/melankolia-i/]Albrect Dürerhez[/url], aki 43 évesen többek között megajándékozott bennünket egy híres poliéderrel, amelyről azóta is jóízűen vitatkoznak [url=https://www.theguardian.com/science/alexs-adventures-in-numberland/2014/dec/03/durers-polyhedron-5-theories-that-explain-melencolias-crazy-cube]a matematikusok[/url], de [url=http://utisz-utisz.blogspot.com/2021/05/durer-550.html]nem csak ők. [b]Sőt[/b][/url][center][b]![/b][/center]Az mindenki számára nyilvánvaló, hogy Dürer "kezébe vett" egy hegyes romboédert, (hat egybevágó rombuszból álló, szerkezetét tekintve kocka-szerű poliédert), amelynek a két hegyesszögű testszögletét levágta két szabályos háromszöggel. A vita tárgya az, hogy milyen volt a csonkolás előtti romboéder, (pl. mekkorák a rombuszok szögei, vagy a rombuszok átlóinak az aránya), és "hol vágta el" a rombuszokat, vagyis mekkorák a levágott háromszögek oldalai az eredeti rombusz oldalaihoz képest.[br][br]Ezt a kérdést mi most hagyjuk nyitva.
Talán közismertnek tekinthető a kockának az a tulajdonsága, hogy a testátlóik, mint tengelyek körül 120°-os forgatással önmagába vihető. Egy nem derékszögű romboédernek -így a Dürer poliédernek is - csak egy ilyen tengelye van. Már csak ezért is érdemes a kockát "csúcsára állítani", mert könnyebben eligazodhatunk, ha ez a forgástengely a koordinátarendszer[i] z[/i] tengelye.[br][br]Egy ilyen speciális helyzetben felvett (z forgástengelyű, origó középpontú) romboéder egyértelműen megadható pl. egy [i]z[/i]-re nem illeszkedő csúcsával, így a Dürer-szerkezetű csonkolt romboéder megadásához elegendő három változtatható paramétert megadnunk.
Mi lenne, ha ...
A Dürer-poliédernek minden csúcsába három-három él fut be, van két háromszög és hat ötszöglapja.[br] Gondolhatnánk, hogy a poliéderen belül "ott van" egy (nem szabályos) oktaéder, amelynek két szemközti lapja a Dürer-poliéder két háromszöglapja. [br]Mi lenne, ha ... elvennénk ezeket a háromszöglapokat, helyettük az oktaéder további hat lapja alkotná az immár tórusz-szerű "lyukas" poliéder felület "belső" részét?[br][br]Önduális poliédereket keresve egyszeriben stimmelne a leltár: ennek a poliédernek hat ötszög és hat háromszöglapja lenne, és hat csúcsába öt-öt él, a másik hatba három-három él futna be. A házi szóhasználatunkkal élve: klónozható! Alkalmas méretezéssel talán elérhető, hogy a poliéder egybevágó legyen aduálisábal. Talán az is megoldható, hogy az ötszöglapok kerüljenek belülre, és a háromszöglapok kívülre. Így egy "Dürer-szerű" poliéder folytonos deformálással átmehet "oktaéderszerűbe".[br][br]Hátha valamelyik elrendezéssel önduális változatot is kaphatunk.
A fenti appletben a Dürer-poliéder alakját csúszkával szabályozott paraméterekkel adtuk meg, azt is megengedve, hogy a romboéder kockává sőt tompaszögűvé - lapos romboéderré - fajuljon. Ugyanígy a csonkolás helye, mértéke is változtatható. (Érdemes megjegyezni, hogy ugyanazokból a - nem túl hegyes - rombuszokból felépíthető egy hegyes és egy lapos romboéder is. [br][br]Az így kapott két - azonos szerkezetű - poliéder egymás duálisa. A Láthatóságuk az előző appletnél megismert módon szabályozható, formájuk a három csúszkával alakítható.[br][br]Van még az appletben három ikon-szerű rajz. Ezere kattintva a csúszkák felvesznek egy-egy speciális helyzetet, talán éppen azokat, amiket keresünk. Aki teheti, ezeket csak végszükség esetén használja, ne fossza meg magát az önálló felfedezés örömétől. [br][br]Ugyanis ezekkel a paraméterekkel nem csak kocka, a duálisával egybevágó "klón" hanem a klónjával egybe is eső változat is "kitapogatható". [br][br]Némi számolás árán az is belátható, hogy az így kapott változatok nem csak körül-belül, hanem matematikailag pontosan olyanok, amilyeneket kerestünk.[br][br]Ezzel matematikai szempontból is figyelemre méltó, különleges poliédert találtunk.Örülhetünk neki. [br][br]Csakhogy...
... csakhogy valójában nem így történt.[br][br]E sorok írójának[url=https://www.ponticulus.hu/rovatok/hidverok/bosze-gallery.html] Böszörményi István [/url]szobrászművész mutatott egy kockából kialakított "kívül-belül kockasíkok" változatot. Ebből kiindulva némi kísérletezés, számolgatás árán állt elő az a változat, amelyhez van olyan gömb, amelyre vonatkozó polaritás a poliédert [u]pontosan[/u] önmagába viszi. [br][br]Ezt kerestük. Erről (is) készített [url=https://www.ponticulus.hu/img1/sculpture/bosze115_md.jpg]térplasztikát a művész.[/url] Így hát ez a poliéder, vagy ez a műalkotás elmondhatná magáról, hogy [b]"Én a klónom vagyok!"[/b] (Szerencsére a poliéderek épp úgy mint a szobrok eléggé hallgatagok.)[br][br]Vajon a matematika, vagy a képzőművészet szépsége - jószerével mindkettő - hatott-e jobban kedves olvasóinkra? Önökre bízzuk a választ.[br][br]Reméljük olvasóink is csatlakoznak ahhoz, hogy - így, együtt - fűzzünk hozzá két szót Orosz István fenti mottójához, miszerint [i]... "Ez nagyon érdekel."... [u]minket is[/u]! [/i]