Extremwerte
"Extremwerte quadratischer Terme" als [b]interaktive Lernumgebung - begleitend zum Unterricht[/b] der Jahrgangsstufe 8 an bayerischen Realschulen [b]Die Lernumgebung ist konzipiert als Lernbegleiter für den traditionellen Unterricht mit Phasen entdeckenden Lernens in digitaler Form (Unterrichtskonzept: Entdeckendes Lernen mit mathematischer Kommunikation + Differenzierung + Feedback). [/b] [i]Hinweis: Bei Übungsaufgaben mit anschließendem Textfeld sind die Schülerinnen und Schüler gehalten, die Aufgabe schriftlich (z.B. im Heft) anzufertigen. Mit Hilfe des Textfeldes (ein Buchstabe muss eingetragen werden, dann wird der Button „Antwort überprüfen“ aktiviert) kann die Lösung überprüft werden.[/i]
Table of Contents
- Extremwerte untersuchen
- Extremwerte untersuchen
- Quadratische Ergänzung
- Quadratische Ergänzung - Musteraufgabe
- Grafikrechner
- Extremwerte mit dem Grafikrechner
- Extremwertprobleme
- Extremwertprobleme - Einführung
Extremwerte untersuchen
Quadratische Terme können im Prinzip[br]so:[color=#ff0000] [b]T(x) = 2x² + 3x + 4 [/b][/color] [color=#ff0000][b]allgemein: T(x) = ax² + bx + c[/b][/color] oder[br]so:[color=#0000ff] T(x) = 2(x – 3)² + 4 [/color] [color=#0000ff][b]allgemein: T(x) = a(x – m)² + n[/b][/color] aussehen.[br][br][br]Wir betrachten zunächst die quadratischen Terme in der Form [b][color=#0000ff]T(x) = a(x – m)² + n[/color][/b][br][br]Welchen Zusammenhang gibt es zwischen [br][list=1][*]der Struktur des quadratischen Terms, [/*][*]der grafischen Darstellung dieses Terms und [/*][*]dem Extremwert dieses Terms?[/*][/list][br][br][b]1. Struktur:[/b][br][b][color=#0000ff][b]T(x) = 2(x – 3)² + 4 oder a[/b][/color][color=#0000ff][b]llgemein: [br]T(x) = a(x – m)² + n besitzt die 3 Formvariablen a = 2, m = 3 und n = 4.[br][br][br][/b][/color]2. Grafische Darstellung (oder grafische Wertetabelle):[/b][br][br][i](Bemerkung: zur besseren Übersichtlichkeit werden die Termwerte als Punkte im Koordinatensystem dargestellt.)[/i][br][br][br][u][size=150]Untersuche, wie sich die Formvariablen [color=#0000ff]a[/color], [color=#0000ff]m[/color] und [color=#0000ff]n [/color]auf die grafische Darstellung und den Extremwert (3.) auswirkt:[/size][/u][br]
Übernimm die Überschrift, die Zeichnung und den korrekten Text in dein Heft:
Erklärvideo: Grafische Wertetabelle mit dem Grafikrechner
Quadratische Ergänzung - Musteraufgabe
Bestimme den [b]Extremwert[/b] des Terms [b]T(x) = 12x² – 24x + 6[/b] und den zugehörigen Wert für x durch quadratische Ergänzung.
Erklärvideo:
Extremwerte mit dem Grafikrechner
Bestimme den [b]Extremwert [/b]des Terms [b]T(x) = 12x² – 24x + 6[/b] und den zugehörigen Wert für x mit dem GeoGebra-Grafikrechner.
Erklärvideo:
Zum Selbermachen:
Extremwertprobleme - Einführung
Aufgabe:
Das Rechteck ABCD besitzt die Länge [math] | \overline {AB} |=10cm[/math] und die Breite [math] | \overline {BC} |=4cm[/math] .[br]Es entstehen neue Rechtecke AB[sub]n[/sub]C[sub]n[/sub]D[sub]n[/sub], wenn die lange Seite um [b][color=#ff0000]2x cm[/color][/b] verkürzt wird und die kurze Seite um [b][color=#ff0000]x cm[/color][/b] verlängert wird.[br][br]a) Zeichne das Rechteck ABCD und das neue Rechteck AB[sub]1[/sub]C[sub]1[/sub]D[sub]1[/sub] für x = 3. [br]b) Berechne den Flächeninhalt für die Rechtecke ABCD und AB[sub]1[/sub]C[sub]1[/sub]D[sub]1[/sub] .[br]c) Für welche Werte von x existieren Rechtecke? [br]d) Stelle den Flächeninhalt der Rechtecke AB[sub]n[/sub]C[sub]n[/sub]D[sub]n[/sub] in Abhängigkeit von x dar.[br]e) Für welchen Wert von x besitzt der Flächeninhalt einen Extremwert?[br]f) Für welche Belegung für x ergibt sich ein Quadrat?
Untersuchung mit GeoGebra:
Bevor du mit der Lösung der Aufgabe startest, kannst du hier die Veränderung des Rechtecks untersuchen.[br][br]Links: mit dem Schieberegler kannst du den Wert für x verändern.[br]Rechts: die grafische Darstellung im Koordinatensystem zeigt den Flächeninhalt der Rechtecke AB[sub]n[/sub]C[sub]n[/sub]D[sub]n[/sub].[br]
[br] [br][b][size=150]Dieses Video zeigt die ausführliche Lösung der Aufgabe.[/size][/b][br]Vorsicht: das Video dauert 13 Minuten, weil alle Teilaufgaben ausführlich vorgerechnet werden.