Bekijk de applet. Schuif punt [i]P [/i]op de grafiek. 

Bekijk de grafiek van de functie [i]f(x) [/i]=[i] x[sup]2[/sup][/i] met daarin de raaklijn aan de grafiek in het punt(1,1). De richtingscoëfficiënt van die raaklijn bepaalt de helling van de grafiek bij [i]x [/i]= 1.

Als je de waarden van [i]x[/i] verandert, veranderen ook de hellingsgetallen van de raaklijnen. Je kunt van die hellingsgetallen een afzonderlijke grafiek maken: [color=#e06666]de hellingsgrafiek[/color]. De bijbehorende functie wordt de hellingsfunctie [i]f'(x)[/i] genoemd. Beweeg punt [i]P[/i] over de grafiek en ga na dat de hellingsgetallen van de raaklijn overeen komen met de functiewaarden van de hellingsgrafiek.[br]Als je de grafiek van de functie [i]f [/i]en die van zijn hellingsfunctie [i]f'[/i] vergelijkt, dan valt op:[br][list][*]als de grafiek stijgend is, zijn de hellingsgetallen positief (en omgekeerd);[br][/*][*]als de grafiek dalend is, zijn de hellingsgetallen negatief (en omgekeerd);[br][/*][*]in toppen van de grafiek (en dus extremen van de functie) is het hellingsgetal 0 .[br][/*][/list]Deze eigenschappen kun je soms goed gebruiken om uit een hellingsgrafiek de karakteristieke eigenschappen van de grafiek van [i]f [/i]af te leiden. Uit de hellingsgrafiek van een functie kun je bijvoorbeeld zijn (lokale) extremen aflezen.

Bekijk de grafiek van [i]f(x) [/i]= [i]x[sup]2[/sup][/i] in de uitleg.[br]Bepaal voor elke waarde van [i]x[/i] uit de tabel het bijbehorende differentiaalquotiënt. Teken vervolgens met die gegevens de hellingsgrafiek van [i]f[/i].[br][table][tr][td][i]x[/i][/td][td]-3[/td][td]-2[/td][td]-1[/td][td]0[/td][td]1[/td][td]2[/td][td]3[/td][/tr][tr][td][i]f'(x)[/i][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][/tr][/table]

Gegeven is de functie [i]f(x) [/i]= -[i]x[sup]2[/sup][/i]. Bepaal voor elke waarde van [i]x[/i] uit de tabel het bijbehorende differentiaalquotiënt. Teken vervolgens met die gegevens de hellingsgrafiek van[i] f[/i].[br][table][tr][td][i]x[/i][/td][td]-3[/td][td]-2[/td][td]-1[/td][td]0[/td][td]1[/td][td]2[/td][td]3[/td][/tr][tr][td][i]f'(x)[/i][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][/tr][/table]

Bekijk de grafiek (rood) en twee hellingsgrafieken (groen en blauw gestippeld). Welke hellingsgrafiek hoort bij de rode grafiek?