Bekijk de applet. Schuif punt P op de grafiek. 

Bekijk de grafiek van de functie f(x) = x² met daarin de raaklijn aan de grafiek in het punt(1,1). De richtingscoëfficiënt van die raaklijn bepaalt de helling van de grafiek bij x = 1.

Als je de waarden van x verandert, veranderen ook de hellingsgetallen van de raaklijnen. Je kunt van die hellingsgetallen een afzonderlijke grafiek maken: de hellingsgrafiek. De bijbehorende functie wordt de hellingsfunctie f'(x) genoemd. Beweeg punt P over de grafiek en ga na dat de hellingsgetallen van de raaklijn overeen komen met de functiewaarden van de hellingsgrafiek. Als je de grafiek van de functie f en die van zijn hellingsfunctie f' vergelijkt, dan valt op:

• als de grafiek stijgend is, zijn de hellingsgetallen positief (en omgekeerd);
• als de grafiek dalend is, zijn de hellingsgetallen negatief (en omgekeerd);
• in toppen van de grafiek (en dus extremen van de functie) is het hellingsgetal 0 .

Deze eigenschappen kun je soms goed gebruiken om uit een hellingsgrafiek de karakteristieke eigenschappen van de grafiek van f af te leiden. Uit de hellingsgrafiek van een functie kun je bijvoorbeeld zijn (lokale) extremen aflezen.

Bekijk de grafiek van f(x) = x² in de uitleg. Bepaal voor elke waarde van x uit de tabel het bijbehorende differentiaalquotiënt. Teken vervolgens met die gegevens de hellingsgrafiek van f.

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
f'(x)

Gegeven is de functie f(x) = -x². Bepaal voor elke waarde van x uit de tabel het bijbehorende differentiaalquotiënt. Teken vervolgens met die gegevens de hellingsgrafiek van f.

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
f'(x)

Bekijk de grafiek (rood) en twee hellingsgrafieken (groen en blauw gestippeld). Welke hellingsgrafiek hoort bij de rode grafiek?