[b][size=150]このワークシートは[url=https://www.geogebra.org/m/twxxx3yq]Math by Code[/url]の一部です。[br][/size][/b][br][b][size=150]＜Qの拡大体の自己同型群は解をかきまぜる＞[br][/size][/b]写像ｆ：環V→環W; x →f(y) とするとき、[br]　f(x+y)=f(x)+f(y), f(x×y)=f(x)×f(y),f(イチｖ)=イチｗ[br]　が成り立つとき、ｆは準同型写像といったね。[br]環と同じように、体Kの積、和、イチを保存すれば、準同型写像(HomK)といい、[br] 全単射なら同型写像(IsoK)といい、K自身への写像なら[b]体Kの自己同型写像[/b]([b][color=#0000ff]AutK)[/color][/b]という。[br]Hom,Iso,Autどれでも準同型fである以上は、逆元のfがfの逆元なので、[br]　f(x/y)=f(x*y-1)=f(x)*f(y-1)=f(x)*f(y)-1=f(x)/f(y)だから、商も保存される。[br]　でも全体としては保存されても、[b]個々の要素[/b]で動き方がちがってくる。[br]たとえば、[br]Qに自己同型写像を作用させても、[b]個々の要素[/b]についても何ら変化はなく、恒等写像になる。[br]このことを、[b]Aut(Q)={id}[/b]とかこう。[br]Q[√2]では話が変わる。a+b√2(a,b∈Q)に自己同型写像fを作用させたとき、f(a+b√2)=f(a)+f(b)f(√2)=a+bf(√2)となるので、f(√2)=√2または、-√2の２つの可能性がある。[br]この符号判定の写がfだとすると、[b]Aut(Q[√2])={id , f}[/b]の２要素が自己同型写像の集合になるね。[br]写像と写像は合成できるので、自己同型写像の集合は群をなす。恒等写像idがイチ。[br]これからは、有理数体Qの拡大体Kの自己同型写像群の意味で[b][color=#0000ff][size=150]Aut(K/Q)[/size][/color][/b]と書くことにしよう。[br]

[b][size=150]＜最小分解体＞[/size][/b][br][b]Q上のｎ次代数方程式f(x)=0[/b]の解をn個の解のリストを[b]X={a1,a2,----,an}[/b]（重複可能）としたとき、[br]QにXをすべて添付した拡大体を[b]K=Q(X)[/b]といい、最小分解体という。[br]最小分解体Kは、f(x)をすべての根aiに対応する[b]１次式x-aiの積に分解できる拡大体[/b]だね。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]f(x)=x-2の最小分解体K[br]f(x)=0の解はx=2(有理数)だから、最小分解体はK=Qのままだね。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]f(x)=x[sup]2[/sup]-2の最小分解体K[br]f(x)＝０の2つの解はX={x1,x2}={ √2, -√2} だから、[br]最小分解体K＝Q[X]となる。しかし、p= √2とするとx2=-x1=-pだから、2要素ではなく１要素添加の拡大体で十分だね。だから、K＝Q(p)=Q(√2)としてよいでしょう。[br]だから、[b][color=#0000ff]Q(√2,-√2)=Q(√2) [/color][/b]最小分解体KをQの単拡大に直すことができたね。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]f(x)=x[sup]4[/sup]-10x＋１の最小分解体K[br]f(x)＝０の４つの解はX={x1,x2,x3,x4}={ √2+√3, √2-√3, -√2+√3, - √2-√3} だから、[br]最小分解体K＝Q[X]となる。しかし、p=(x1+x2)/2=√2, q=(x1+x3)/2=√3だから、[br]逆に、Xはp,qの四則で表現可能できる。だから、４要素ではなく２要素添加の拡大体で十分だね。[br]だから、K＝Q(p,q)=Q(√2,√3)としてよいでしょう。[br]また、r=√2+√3とすると、√2+√3[b]∈Q(√2, √3)[/b]だから、Q([b]√2+√3[/b])がQ(√2,√3)の部分になることは自明だ。[br]その逆はいえるか？[br]Q(√2,√3)の要素である√2,√3,√6∈Q(√2+√3)が言えればいいね。[br](r[sup]2[/sup]-5)/2=(2+3+2√6-5)/2=√6から、[b]√6∈Q(√2+√3)[/b][br]√6(√2+√3)-2(√2+√3)=2√3+3√2-2√3-2√2=[b]√2∈Q(√2+√3)[/b][br](√6(√2+√3)-3√2)/2=√3[b]∈Q(√2+√3)[/b]。[br]だから、[b][color=#0000ff]Q(√2,√3)=Q(√2+√3）[/color][/b]最小分解体KをQの単拡大に直すことができたね。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]f(x)=x[sup]3[/sup]-2の最小分解体K[br]Kは、f(x)=0の３つの解はX={[math]\sqrt[3]{2},\omega\sqrt[3]{2},\omega^2\sqrt[3]{2}[/math]}とするときのQ(X)だけれど、[br]Xの３要素はωと[math]\sqrt[3]{2}[/math] の四則で計算できるので、K=Q(ω, [math]\sqrt[3]{2}[/math]) とかける。[br]最小分解体Kの添付数を３ではなく２に減らすことができたね。[br]Q( [math]\sqrt[3]{2}[/math] )={p+q [math]\sqrt[3]{2}[/math] +r [math]\sqrt[3]{2}[/math] [sup]2[/sup]|p,q,r∈Q}では、ωを作れないので注意。

[size=150][size=100]ガロア群を定義する前に言葉を増やしておこう。[br][b]・根と解の微妙な言葉の使い分け[/b]をするときがあるようです。[br]　f(ｐ)=0となるｐが[b]方程式f(x)＝０の[color=#0000ff]解、[/color][/b]f(x)が持つ(x-p)のｐが[b]多項式f(x)の[color=#0000ff]根[/color][/b]。[br]・体K上の多項式f(x)∈K[x]に対してf(a)=0となるa∈Kが必ずあるKを[b]代数閉体[/b]。[br]　L/Kが代数閉体になる代数拡大L/Kを[b]代数閉包。（[/b]任意の体Kには代数閉包が一意的にある。）[br][/size][size=100]・L/Kが体の拡大でa,b∈LがK代数ならa,bは同じ[b]最小多項式を共有する[/b]。根a,bは[b]共役[/b]だという。[br][/size][size=100]　どんな自己同型写像群Aut(L/K)の要素ｆをaに作用させても、[b]f(a)とaは共役[/b]だ。[br][/size][b][br]＜ガロア群＞[/b][/size][br]ガロア群はK/Qの[b]自己同型群Aut(K/Q)の仲間[/b]だ。[br][size=150][size=200][b]KがQ上のｎ次代数方程式f(x)＝０の最小分解体KのときのAut（K/Q）[/b]を[b][color=#0000ff]ガロア群Gal(f/Q)[/color][/b]という。[br][/size][/size][br]ガロア群の要素の１つである自己同型写像autと、分解体Kの要素ｘについて、[br]ｆ(aut(x))=aut(f(x))が成り立つ。もしも、αがf(x)=0の解ならば、[br]ｆ(aut(α))=aut(f(α))=aut(0)=0。だから、自己同型写像によってf(x)=0の解ｘはかきまぜられても[br]解のままだ。[br]（例）[br]f(x)=x-2の最小分解体K=Qのガロア群Gal(f/Q)[br]ガロア群Gal(f/Q)はAut(Q/Q)={e} [br][color=#ff0000]恒等写像はeではなくidと書くことが多いようですが、eとしてます。[br][/color][color=#0000ff]（例）[/color][br]f(x)=x[sup]2[/sup]-2の最小分解体K=Q(√2)=Q[√2]={a+b√2 | a,b∈Q}のときのガロア群Gal(f/Q)[br]ガロア群Gal(f/Q)は[b]Aut(Q[√2]/Q)={e , s}[br][b]√2の[/b]最小多項式f(x)=x[sup]2[/sup]-2＝０のQ上の√2の共役はX={[color=#0000ff]√2、-√2}[/color]で、この２要素の置換群を調べる。[br][/b]s(√2)=-√2, s(-√2)=√2,[br] e(√2)=√2, e(-√2)=-√2[br]ガロア群Gal(f/Q)=Aut(Q[√2]/Q)=S2={e, (1 2)}と同型になることがわかるね。[br]ガロア群のどの置換でもQは不変だ。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]f(x)=x[sup]4[/sup]-10x＋１の最小分解体K=Q([b][color=#0000ff]√2+√3[/color][/b])=Q[[b][color=#0000ff]√2,√3[/color][/b]]={p+q[b][color=#0000ff]√2[/color][/b]+r[b][color=#0000ff]√3[/color][/b]+s[b][color=#0000ff]√6[/color][/b]|p,q,r,s∈Q}のガロア群Gal(f/Q)[br][b][b][color=#0000ff]√2+√3の[/color][/b]最小多項式f(x)=x[sup]4[/sup]-10x＋１＝０のQ上の[b][color=#0000ff]√2+√3[/color][/b]の共役はX={[b][b][color=#0000ff]√2+√3,[b][b][color=#0000ff]√2-√3,-[b][b][color=#0000ff]√2+√3,-[b][b][color=#0000ff]√2-√3}[/color][/b][/b][/color][/b][/b][/color][/b][/b][/color][/b][/b][br]この4要素の置換群を調べる。[br][/b]e(√2)=√2, e(√3)=√3[br]p(√2)=-√2, p(√3)=√3[br]q(√2)=√2, q(√3)=-√3[br]r(√2)=-√2, s(√3)=-√3[br]ガロア群Gal(f/Q)は[b]Aut(Q[[b][color=#0000ff]√2+√3[/color][/b]]/Q)={e , p, q, r}=V4[br][/b]ガロア群のどの置換でもQは不変だ。[br]位数が４でp*p=e, q*q=eだから、巡回群ではなく、クラインの４元群だ。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]f(x)=x[sup]3[/sup]-2の最小分解体K=Q(ω, [math]\sqrt[3]{2}[/math] )={a+bω+c [math]\sqrt[3]{2}[/math]+dω [math]\sqrt[3]{2}[/math]+e [math]\sqrt[3]{2}[/math] [sup]2[/sup]+fω [math]\sqrt[3]{2}[/math] [sup]2[/sup]| a,b,c,d,e,f∈Q｝の[br]ガロア群Gal(f/Q)[br][b] [math]\sqrt[3]{2}[/math] の最小多項式f(x)=x[sup]3[/sup]-2=0のQ上の [/b][math]\sqrt[3]{2}[/math][b] の共役はX={1,2,3}={[/b][math]\sqrt[3]{2},\omega\sqrt[3]{2},\omega^2\sqrt[3]{2}[/math][b]}。[br]この３要素の置換群を調べる。[br][/b]S3={e, s:(1 2 3), r:(1 3 2), a:(1 2) , b:(1 3) ,c :(2 3)}とする。具体的には、[br]s( [math]\sqrt[3]{2}[/math] )=( ω[math]\sqrt[3]{2}[/math] )、s(ω)=ω[br]r=s*s[br]c( [math]\sqrt[3]{2}[/math] )=( [math]\sqrt[3]{2}[/math] ), c(ω)= ω[sup]2[/sup] [br]a=sc, b=rc[br]この６置換で入れ替えがすべて表現できる。 [br]ガロア群Gal(f/Q)は[b]Aut(Q[[b][color=#0000ff]ω, [math]\sqrt[3]{2}[/math] [/color][/b]]/Q)=S3[br][/b]ガロア群のどの置換でもQは不変だ。[br]Q( [math]\sqrt[3]{2}[/math] )={p+q [math]\sqrt[3]{2}[/math] +r [math]\sqrt[3]{2}[/math] [sup]2[/sup]|p,q,r∈Q}では、ωを作れない。 [math]\sqrt[3]{2}[/math]は [math]\sqrt[3]{2}[/math] に移すしかないので、[br]Aut(Q( [math]\sqrt[3]{2}[/math] ))={ e }[br][br][br][br][color=#9900ff][size=150][u][b]質問：ガロア群が最小多項式の根を置換するようすをコードで確認できるようにするにはどうしたらよいですか。[br][/b][/u][/size][/color][br]geogebraであみだくじを作ってみましょう。[br]３本の線に３点ずつ、合計９点を打ちます。[br]互換のための線を３本用意して、両端に２点をつけます。[br]互換のための点名と３本線の点名の重なり具合を場合分けします。[br]たとえば、a12の真理値は1と2が上で結ばれたら１、ないと０にします。[br]b12は１と２の中での連結、c12は１と２の下での連結で１，０を返します。[br]どうようにして、a23,b23,c23も１，０を返します。[br]そして、a12,b12,c12,a23,b23,c23の６つの値の関係から、1の行き先の番号をa, 2の行き先をb,[br]3の行き先をcにいれる論理式を考えましょう。[br]その結果としてのa,b,cの順列に対応して、置換表現としての行列を呼び出します。[br]行き先の行列の値を線の下に表示されるようにすればよいですね。[br]有理数が不変であることを表すには、０番目として移動できない線があるといいですね。[br][br]