[br]Funkcja określona wzorem[br][center][math]f(x,y)=x^2+y^2+1[/math] dla [math](x,y)\in \mathbb{R}^2[/math][/center]posiada minimum lokalne w punkcie [math]P=(0,0)[/math] o wartości [math]f(P)=1.[/math] Rzeczywiście, istnieje otoczenie [math]U= \mathbb{R}^2[/math] punktu [math]P[/math] takie, że [center] [math]f(x,y)=x^2+y^2+1\ge1=f(0,0)[/math] dla każdego [math](x,y)\in U.[/math][/center]Ponadto ponieważ [math]f(x,y)>f(0,0)[/math] dla każdego [math](x,y)\in U \setminus \{(0,0)\}[/math], więc jest to [b]minimum lokalne właściwe[/b]. A zatem punkt [math]R=(x(P),y(P),f(P))=(0,0,1)[/math] jest lokalnie (ale i globalnie) najniżej położonym punktem na wykresie funkcji [math]f[/math]. [br][br][table] [tr][br] [td][color=#980000][b][size=200]! [/size][/b][/color][/td][br] [td][size=85]Zauważmy, że wykresem funkcji [math]\scriptstyle f[/math] jest paraboloida obrotowa o wierzchołku w punkcie [math]\scriptstyle R[/math], czyli jedna z podstawowych powierzchni które przedstawiamy w rozdziale ... . [size=85]Umiejętność rozpoznania typu powierzchni, która jest wykresem badanej funkcji, może być przydatna w postawieniu hipotezy dotyczącej istnienia ekstremów lokalnych (globalnych) tej funkcji.[/size][/size][/td][br][/tr][br][/table]

Niech [math]g(x,y)=2-(x-1)^2-y^2[/math] dla [math](x,y)\in \mathbb{R}^2[/math]. Naszkicuj odręcznie wykres funkcji [math]g[/math], a następnie zastanów się, co można powiedzieć o ekstremach lokalnych tej funkcji. W powyższym aplecie zdefiniuj funkcję [math]g[/math] oraz zaznacz na jej wykresie wyznaczony punkt ekstremalny.[br][br][b]Odpowiedź.[/b]