[b]Voraussetzungen[/b][br]Definition der Exponentialfunktion ist bekannt:[br][list][*][math]f\left(x\right)=a^x[/math] ([math]a>0[/math], [math]a\ne1[/math])[/*][*][math]D\left(f\right)=\mathbb{R}[/math]; [math]W\left(f\right)=\mathbb{R}_{>0}[/math][/*][/list][br]Definition der Logarithmusfunktion (Umkehrfunktion von[math]f\left(x\right)=a^x[/math]) ist bekannt:[br][list][*][math]h\left(y\right)=f^{-1}\left(y\right)=log_a\left(y\right)[/math] ([math]a>0[/math], [math]a\ne1[/math])[/*][*][math]D\left(f\right)=\mathbb{R}_{>0}[/math]; [math]W\left(f\right)=\mathbb{R}[/math][br][/*][/list][br]Kann über "Ableitung der Umkehrfunktion" abgekürzt werden:[br][list][*][math]h'\left(y\right)=\frac{1}{f'\left(h\left(y\right)\right)}[/math] oder[/*][/list][list][*][math]\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\left(\frac{dy}{dx}\right)}[/math][br][/*][/list]
[size=150][size=200][u][b]Die Ableitung der Logarithmusfunktion[/b][/u][/size][/size]
Gegeben ist eine ([b][color=#0B5394]blaue[/color][/b]) [color=#1e84cc]Exponentialfunktion[/color] [math]f\left(x\right)=a^x[/math], sowie die ([b][color=#9900ff]lila[/color][/b]) [color=#9900ff]zugehörige logarithmische Umkehrfunktion[/color] [math]h\left(x\right)=f^{-1}\left(x\right)[/math], welche durch Spiegelung an der Einheitsfunktion [math]x=y[/math] grafisch gewonnen wird. Des Weiteren ist ein Punkt P auf f(x), sowie der zugehörige gespiegelte Punkt P' auf h(x) gegeben und deren Anstiegsgeraden.[br][br]Unter Betrachtung der Anstiegsdreiecke NMO bzw. N'M'O' ist es Möglich den Anstieg der jeweiligen Anstiegsgeraden zu ermitteln.[color=#ff0000][color=rgb(51, 51, 51)] Zum Beispiel ergibt sich der Anstieg [math]m_{exp}[/math] für die Exponentialfunktion wie folgt:[br][/color][/color][list][*][math]m_{exp}\left(f\left(P\right)\right)=\frac{m}{n}[/math][br][/*][/list]
Wie lautet die Gleichung für den Anstieg [math]m_{log}\left(h\left(P'\right)\right)[/math] in Bezugname von der Strecken [math]m',n'[/math], sowie [math]m,n[/math].
[math]m_{log}\left(h\left(P'\right)\right)=\frac{n'}{m'}=\frac{1}{\left(\frac{m'}{n'}\right)}=\frac{1}{\left(\frac{m}{n}\right)}=\frac{1}{m_{exp}\left(f\left(P\right)\right)}=\frac{1}{m_{exp}\left(h^{-1}\left(P'\right)\right)}[/math]
Da die erhaltene Gleichung für jeden beliebigen Punkt auf [math]f\left(x\right)=a^x[/math] gilt, ergibt sich welche Ableitungsregel für [math]h'\left(y\right)=\left(f^{-1}\right)'\left(y\right)[/math]?
[math]h'\left(y\right)=\frac{1}{f'\left(h\left(y\right)\right)}[/math] bzw. o.B.d.A [math]h'\left(x\right)=\frac{1}{f'\left(h\left(x\right)\right)}[/math]
Nehmen wir nun den Logarithmusnotation [math]h\left(y\right)=log_a\left(y\right)[/math] für die Exponentialfunktion [math]f\left(x\right)=a^x[/math]. So ergibt sich unter Bezugnahme der Ableitungsregel [math]f\left(x\right)=a^x\Longrightarrow f'\left(x\right)=ln\left(a\right)\cdot f\left(x\right)[/math] welche Ableitungsgleichung für den Logarithmus?
[math]h'\left(x\right)=\frac{1}{f'\left(h\left(x\right)\right)}=\frac{1}{ln\left(a\right)\cdot f\left(h\left(x\right)\right)}=\frac{1}{ln\left(a\right)\cdot a^{log_a\left(x\right)}}=\frac{1}{ln\left(a\right)\cdot x}=\frac{d}{dx}log_a\left(x\right)[/math]
[list][*][math]\frac{d}{dx}log_a\left(x\right)=\frac{1}{ln\left(a\right)}\cdot\frac{1}{x}[/math][br][/*][/list]