Problémagyár

Tarcsay Tamás, 22/9/2020

Sokszor fordul elő az, hogy tanítványaink számára egy adott eljárás gyakoroltatására több hasonló problémát akarunk adni. Ezeknek kitalálásához adnak segítséget e könyv ayagai.

Tabla de Contenidos

  1. Algebra
    1. Gyártsunk teljes négyzetté alakítást igénylő négyzetgyökös feladatot!
    2. Egy négyzetgyökös egyenlet típus
    3. Gyártsunk egyenletet!
    4. Még egy kis általánosítás
    5. Köbgyökös probléma általánosatása
    6. Polinom megadása a gyökei és főegyütthatója ismeretében
    7. Gyártsunk négyzetgyökös egyenletrendszert!
    8. Gyártsunk egyenletet!
    9. Gyártsunk további egyenleteket!
    10. Százalékszámításos probléma
    11. Egyenletrendszer
  2. Analitikus síkgeometria (koordinátageometria)
    1. Két kör közös érintői 2.
    2. Mértani helyes probléma
  3. Elemi síkgeometria
    1. Speciális derékszögű háromszögek alkalmazása
    2. Problémák, feladatok (raszösz sokszögek)
    3. Egy japán elemi geometriai probléma
    4. Az ABCD húrnégyszög.
    5. Mekkora a szög? (általánosítás)
    6. 1. feladat
  4. Sorozatok
    1. Egy általánosított rekurzió
  5. Számelmélet
    1. Csináljunk egy évszámos problémát!
    2. Maradékos osztásos probléma
    3. És még egyszer: Hány olyan négyjegyű szám van, ...
  6. Térgeometria
    1. B. 5363. általánosítás
  7. Trigonometria
    1. gyk_332 - Egy trigonometrikus egyenlet tanulságai

1.

Algebra

  • 1. Gyártsunk teljes négyzetté alakítást igénylő négyzetgyökös feladatot!
  • 2. Egy négyzetgyökös egyenlet típus
  • 3. Gyártsunk egyenletet!
  • 4. Még egy kis általánosítás
  • 5. Köbgyökös probléma általánosatása
  • 6. Polinom megadása a gyökei és főegyütthatója ismeretében
  • 7. Gyártsunk négyzetgyökös egyenletrendszert!
  • 8. Gyártsunk egyenletet!
  • 9. Gyártsunk további egyenleteket!
  • 10. Százalékszámításos probléma
  • 11. Egyenletrendszer

1.1.

Gyártsunk teljes négyzetté alakítást igénylő négyzetgyökös feladatot!

[size=85]A tizedik osztályos matematika tananyagban, típus feladatnak számít az, hogy teljes négyzetté alakítás segítségével alakítjuk egyszerűbb alakra az olyan négyzetgyökös kifejezéseket, melyekben a négyzetgyökjel alatt kéttagú négyzetgyökös kifejezés szerepel. Az ilyen feladatok kitalálása gondolkodást igényel. Ebben szeretnénk segíteni az alábbi GeoGebra fájlokkal.[/size]
1.
2.
– Tarcsay Tamás

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

1.5.

–

1.6.

–

1.7.

–

1.8.

–

1.9.

–

1.10.

–

1.11.

–

2.

Analitikus síkgeometria (koordinátageometria)

  • 1. Két kör közös érintői 2.
  • 2. Mértani helyes probléma

2.1.

Két kör közös érintői 2.

[url=https://www.geogebra.org/m/qrmcfns3]https://www.geogebra.org/m/qrmcfns3[/url][br]Korábban itt már foglalkoztunk ezzel a problémával. Amikor a vizsgált geometriai objektumokat meg akartuk jeleníteni, nem várt problémákba ütköztünk. A GeoGebra CAS által kiszámolt érintők nem mindig jelentek meg. [br][br]Talán mostanra javult a helyzet. (De még nem tökéletes.)
– Tarcsay Tamás

2.2.

–

3.

Elemi síkgeometria

  • 1. Speciális derékszögű háromszögek alkalmazása
  • 2. Problémák, feladatok (raszösz sokszögek)
  • 3. Egy japán elemi geometriai probléma
  • 4. Az ABCD húrnégyszög.
  • 5. Mekkora a szög? (általánosítás)
  • 6. 1. feladat

3.1.

Speciális derékszögű háromszögek alkalmazása

[size=85]Az ötlet innen is jöhetett volna: [url=https://www.geogebra.org/m/xdgha2md]https://www.geogebra.org/m/xdgha2md[/url][br]A speciális derékszögű háromszögek ([url=https://www.youtube.com/watch?v=ECS2V1sjzS4]félszabályos háromszög[/url], [url=https://www.youtube.com/watch?v=rCXIJ7DOihA]egyenlőszárú derékszögű háromszög[/url]) kombinálásával érdekes feladatokat alkothatunk. Az alábbi GeoGebra fájlokból válogathatunk kiszámítandó adatokat.[br][br]Megjegyezzük, hogy a 2. és 3. alapján megadhatók a 15° szögfüggvényei is.[/size]
1.
2.
3.
És még
[url=https://www.geogebra.org/m/pkzqk2mw]https://www.geogebra.org/m/pkzqk2mw[/url]
– Tarcsay Tamás

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

3.5.

–

3.6.

–

4.

Sorozatok

  • 1. Egy általánosított rekurzió

4.1.

Egy általánosított rekurzió

[math]a_{n+2}=\frac{l\cdot a_{n+1}}{k\cdot a_n}[/math][br]Egy [url=https://www.geogebra.org/m/ykakpuna#material/wur2asyt]korábbi probléma[/url] továbbgondolása
Látható, hogy ha [i]a[sub]1[/sub][/i] és [i]k[/i] nem nulla, akkor a sorozat periodikus, és a periódusának hossza 6.
– Tarcsay Tamás

5.

Számelmélet

  • 1. Csináljunk egy évszámos problémát!
  • 2. Maradékos osztásos probléma
  • 3. És még egyszer: Hány olyan négyjegyű szám van, ...

5.1.

Csináljunk egy évszámos problémát!

Egy [url=https://www.geogebra.org/m/hptgeagp]korábbi problémá[/url]hoz hasonló problémák gyártására.
– Tarcsay Tamás

5.2.

–

5.3.

–

6.

Térgeometria

  • 1. B. 5363. általánosítás

6.1.

B. 5363. általánosítás

Egy szabályos négyoldalú gúla alaplapja az [i]ABCD[/i] négyzet, a gúla csúcsa az [i]E[/i] pont. Legyen a [i]CE[/i] oldalél pontja az [i]F[/i], a [i]BE[/i] oldalél pontja pedig a [i]H. [/i]Milyen arányban osztja ketté az [i]ABCDE[/i] gúla térfogatát az [i]AHF[/i] sík, ha
[math]\frac{EF}{EC}=k[/math], (0 < [i]k[/i] <1)[br]és[br][math]\frac{EH}{EB}=l[/math], ([i]k[/i]< [i]l[/i] < 1)?[br][br]Egy [url=https://www.geogebra.org/m/ue8szqxr]korábbi probléma[/url] általánosítása
Az E pont mozgatható
Koordinátageometriai meggondolás
– Tarcsay Tamás

7.

Trigonometria

  • 1. gyk_332 - Egy trigonometrikus egyenlet tanulságai

7.1.

gyk_332 - Egy trigonometrikus egyenlet tanulságai

[size=85]Kérdés: [url=https://www.gyakorikerdesek.hu/kozoktatas-tanfolyamok__hazifeladat-kerdesek__11329387-trigonometrikus-egyenlet]https://www.gyakorikerdesek.hu/kozoktatas-tanfolyamok__hazifeladat-kerdesek__11329387-trigonometrikus-egyenlet[/url][/size]
Egy lehetséges megoldási mód
Egy másik megoldási mód
Tanulság
[size=85]Ha lehet, akkor válasszunk olyan megoldási módot,[/size] [size=85]amelyben nem alkalmazunk hamis megoldást eredményezhető lépéseket. [br]A második megoldásban két ilyen lépés is van, így a kapott megoldások mindegyikét ellenőrizni kell.[/size]
Általánosítás
[size=85]Az [math]a\cdot sinx+b\cdot cosx=c[/math] alakú egyenlet megoldásakor az egyenlet két oldalát érdemes elosztani [math]\sqrt{a^2+b^2}[/math]-tel. Ezután a két szög összegének vagy különbségének szinuszára vonatkozó addíciós tétel alkalmazható.[br]A fentiekből következik, hogy az egyenletnek akkor és csak akkor van megoldása, ha [math]c\in\left[-\sqrt{a^2+b^2};\sqrt{a^2+b^2}\right][/math].[/size]
– Tarcsay Tamás

Información