[color=#006B6B]Ein [b]Weitsprung-Trainer[/b] überlegt, welchen der drei von ihm betreuten Springer er zum Wettkampf schicken soll. Um eine Entscheidungsgrundlage zu haben, hat er für alle drei Springer jeweils zwölf Mal deren Sprungweiten im Training gemessen.[br]Im Diagramm in folgendem Applet ist zu jeder Nummer der Messung die gemessene Sprungweite aufgetragen.[/color][br]

[b][color=#095ebc][size=100][size=150]Aufgaben[/size][/size][/color][/b][br][color=#e31b4c][b](1)[/b][/color] Machen Sie sich mit der Darstellung des Diagramms vertraut.[br][br][color=#e31b4c][b](2)[/b][/color] Klicken Sie nacheinander auf die [color=#095ebc]blauen Knöpfe [b]Springer 1[/b], [b]Springer 2[/b] [/color]bzw. [color=#095ebc][b]Springer 3[/b][/color], vergleichen Sie die Sprung-Daten der drei Springer und entwickeln Sie Kriterien, die der Trainer anwenden könnte, um zu entscheiden, welchen Springer er zum Wettkampf schickt. Notieren Sie Ihre Überlegungen.[br][br][color=#006B6B]Der Trainer kommt auf die Idee, für jeden Springer das [b]arithmetische Mittel[/b] [math]\overline{x}=\frac{1}{12}\cdot (x_1+...+x_{12})[/math] der Sprungweiten [b]x[sub]1[/sub][/b] bis [b]x[sub]12[/sub][/b] zu bilden, um das als Kriterium zu verwenden. [/color][br][br][color=#e31b4c][b](3)[/b][/color] Klicken Sie auf das [color=#095ebc]Auswahlfeld [math]\overline{x}[/math][/color] und machen Sie sich mit der Darstellung des arithmetischen Mittels und dessen Bedeutung vertraut. [br][br][color=#e31b4c][b](4)[/b][/color] Klicken Sie nacheinander auf die [color=#095ebc]blauen Knöpfe [b]Springer 1[/b], [b]Springer 2[/b][/color] bzw. [color=#095ebc][b]Springer 3[/b][/color] und vergleichen Sie die [color=#095ebc]arithmetische Mittel[/color] der Sprungweiten der drei Springer miteinander. Notieren Sie, was Ihnen auffällt und was das für den Trainer bedeutet. Machen Sie ihm anschließend einen Vorschlag, wie er damit umgehen könnte und halten Sie Ihren Vorschlag schriftlich fest.[br][br][color=#e31b4c][b](5)[/b][/color] Klicken Sie auf den [color=#095ebc]blauen Knopf [b]Springer 3[/b][/color] und variieren Sie die Sprungweiten dieses Springers durch Ziehen an den [color=#e31b4c]roten Punkten[/color] so, dass der Wert des [color=#095ebc]arithmetischen Mittels[/color] der Sprungweiten sich dadurch nicht verändert. Beschreiben Sie, wie Sie dazu vorgehen müssen.[br][br][color=#006B6B]Der Trainer kommt auf die Idee, sich die [b]Abweichungen der Sprungweiten der Springer vom arithmetischen Mittelwert[/b] ihrer Sprungweiten anzusehen.[/color][br][br][color=#e31b4c][b](6)[/b][/color] Überlegen Sie, warum dieses Vorgehen möglicherweise sinnvoll sein könnte. Halten Sie Ihre Überlegungen schriftlich fest.[br][br][color=#e31b4c][b](7)[/b][/color] Klicken Sie auf das [color=#e31b4c]Auswahlfeld [math]x-\overline{x}[/math][/color] machen Sie sich klar, was die nun erscheinenden [color=#e31b4c]roten Linien[/color] im Diagramm im Hinblick auf die [color=#e31b4c]Abweichungen der Sprungweiten der Springer vom arithmetischen Mittelwert[/color] bedeuten.[br][br][color=#e31b4c][b](8)[/b][/color] Klicken Sie nacheinander auf die [color=#095ebc]blauen Knöpfe [b]Springer 1[/b], [b]Springer 2[/b] [/color]bzw. [color=#095ebc][b]Springer 3[/b][/color] und vergleichen Sie die [color=#e31b4c]Abweichungen der Sprungweiten der Springer vom arithmetischen Mittelwert[/color] miteinander. Notieren Sie, was Ihnen auffällt und was das für den Trainer bedeutet.[br][br][color=#006B6B]Der Trainer kommt auf die Idee, sich die [b]mittlere absolute Abweichung der Sprungweiten der Springer vom arithmetischen Mittelwert[/b] ihrer Sprungweiten anzusehen, um die Abweichungen der Springer einfacher miteinander vergleichen zu können.[/color][br][br][color=#e31b4c][b](9)[/b][/color] Klicken Sie auf das Auswahlfeld [b]mittlere absolute Abweichung vom Mittelwert[/b] und machen Sie sich mit dem erscheinenden Term und seiner Bedeutung vertraut.[br][br][color=#e31b4c][b](10)[/b][/color] Klicken Sie nacheinander auf die [color=#095ebc]blauen Knöpfe [b]Springer 1[/b], [b]Springer 2[/b] [/color]bzw. [color=#095ebc][b]Springer 3[/b][/color] und vergleichen Sie die jeweiligen [color=#e31b4c]mittlere absolute Abweichung der Sprungweiten der Springer vom arithmetischen Mittelwert[/color] miteinander. Notieren Sie, was Ihnen auffällt und erläutern Sie schriftlich, woran das liegen könnte.[br][br][color=#006B6B]Um das erkannte Problem zu beseitigen, entwickelt der Trainer die Idee, sich die [b]quadrierten absoluten Abweichungen der Sprungweiten der Springer vom arithmetischen Mittelwert[/b] ihrer Sprungweiten anzusehen.[/color][br][br][color=#e31b4c][b](11)[/b][/color] Klicken Sie auf das Auswahlfeld [math](x-\overline{x})^2[/math] für die [b][color=#006B6B][b]quadrierten absoluten Abweichung der Sprungweiten der Springer vom arithmetischen Mittelwert[/b] ihrer Sprungweiten[/color][/b] und machen Sie sich mit den erscheinenden [color=#006B6B]grünen Quadraten[/color] und deren Bedeutung vertraut.[br][br][color=#e31b4c][b](12)[/b][/color] Das [color=#006B6B]arithmetische Mittel der quadrierten Abweichungen der Sprungweiten vom arithmetischen Mittel [/color]nennt man [color=#006B6B]Varianz[/color][color=#006B6B] [math]\sigma[/math][/color]. Klicken Sie auf das Auswahlfeld [b]mittlere quadratische Abweichung vom Mittelwert (Varianz)[/b] und machen Sie sich mit dem erscheinenden Term vertraut. Klicken Sie nacheinander auf die [color=#095ebc]blauen Knöpfe [b]Springer 1[/b], [b]Springer 2[/b] [/color]bzw. [color=#095ebc][b]Springer 3[/b][/color] und vergleichen Sie die [color=#006B6B][b]Varianz[/b][/color] der Sprungweiten der drei Springer miteinander. Notieren Sie Ihre Beobachtungen.[br][br][color=#006B6B]An der Varianz gefällt dem Trainer nicht, dass deren Einheit das Quadrat der Einheit der Sprungweiten, also [b]m[sup]2[/sup][/b] ist. Um die Streuung der Sprungweiten um das arithmetische Mittel besser interpretieren zu können, kommt er auf die Idee, die [b]Wurzel aus der Varianz[/b] zu ziehen. Die Einheit dieses Wertes, also von [b][math]\sigma = \sqrt{\sigma^2}[/math][/b] ist wieder [b]m[/b], entspricht also der Einheit der Sprungweiten.[/color][br][br][color=#e31b4c][b](13)[/b][/color] Die [color=#e31b4c]Wurzel aus der Varianz [/color]nennt man[b] [color=#e31b4c]Standardabweichung[/color][/b] [math]\sigma = \sqrt{\sigma^2}[/math]. Klicken Sie auf das Auswahlfeld [b]Standardabweichung[/b] und machen Sie sich mit dem erscheinenden Term vertraut. Klicken Sie nacheinander auf die [color=#095ebc]blauen Knöpfe [b]Springer 1[/b], [b]Springer 2[/b] [/color]bzw. [color=#095ebc][b]Springer 3[/b][/color] und vergleichen Sie die [color=#006B6B][b][b][color=#e31b4c]Standardabweichung[/color][/b][/b][/color] der Sprungweiten der drei Springer miteinander. Notieren Sie Ihre Beobachtungen.[br][br][color=#e31b4c][b](14)[/b][/color] Geben Sie dem Trainer, auf der Grundlage der nun verfügbaren Kennwerte zu den Sprungweiten der drei Springer, schriftlich einen begründeten Rat, welchen Springer er zum Wettkampf senden soll.