Niech [math]f(x)=\begin{cases}\arcsin x \text{ dla } x<0,\\ x(x-a) \text{ dla } x\geq 0, \end{cases}[/math] gdzie [math]a\in\mathbb{R}[/math]. [br]Dla dowolnych wartości parametru [math]a[/math] funkcja [math]f[/math] jest wklęsła dla [math]x\in(-1,0)[/math] oraz wypukła dla [math]x\in(0,+\infty)[/math]. W punkcie [math](0,0)[/math] następuje więc zmiana wklęsłości na wypukłość. Jeśli znajdziemy takie [math]a[/math], dla którego będzie istniała styczna do wykresu [math]f[/math] w punkcie [math](0,0)[/math], to będziemy mogli powiedzieć, że punkt ten jest [b]punktem przegięcia[/b] wykresu funkcji [math]f[/math].[br]

W tym przypadku, aby istniała styczna do wykresu funkcji [math]f[/math] w punkcie [math](0,0)[/math] należy znaleźć taką wartość parametru [math]a[/math], aby był spełniony warunek [center][math]f'(0^-)=f'(0^+)[/math]. [/center]Ponieważ [math]f'(0^-)=1[/math] oraz [math]f'(0^+)=-a[/math], więc powyższy warunek jest spełniony tylko dla [math]a=-1[/math].[br]

Wykorzystując odpowiednie własności pochodnych uzasadnij, że [math]f'(0^-)=1[/math] oraz [math]f'(0^+)=-a[/math]. [br]