დავუშვათ სიბრტყეზე მოცემულია ორი წერტილი [math]A[/math] და [math]B[/math] რისი ტოლია სიბრტყის იმ [math]X[/math]წერტილების სიმრავლე, რომელთთვისაც მანძილების შეფარდება [math]\frac{XA}{XB}=k[/math] მუდმივია?

[math]A[/math] და [math]B[/math] წერტილები შევაერთოთ და [math]X[/math] წვეროდან გავავლოთ [math]AXB[/math] კუთხის ბისექტრისა [math]XC[/math]

სამკუთხედის ბისექტრისის თვისების თანახმად, როგორც ვიცით სრულდება ტოლობა:[br][math]\frac{XA}{XB}=\frac{AC}{CB}[/math][br]ამიტომ, თუ [math]C[/math] წერტილს ისე შევარჩევთ, რომ შესრულდეს ტოლობა [math]\frac{AC}{CB}=k[/math], მაშინ [math]XC[/math] იქნება [math]AXB[/math] კუთხის ბისექტრისა.

როგორ ვიპოვოთ [math]X[/math] წერტილი? ე.ი. დავუშვათ მოცემულია [math]AB[/math] მონაკვეთი და მასზე ისეთი [math]C[/math] წერტილი, რომლისთვისაც [math]\frac{AC}{CB}=k[/math], ხოლო [math]C[/math] წერტილზე გადის წრფე, რომელიც არ მოიცავს [math]AB[/math] მონაკვეთს. როგორ ავაგოთ ისეთი [math]X[/math] წერტილი ამ წრფეზე, რომ [math]XC[/math] იყოს [math]AXB[/math] კუთხის ბისექტრისა?

რადგან [math]AEC[/math] მართი კუთხეა, ამიტომ [math]E[/math] წერტილი მდებარეობს [math]AC[/math] დიამეტრის მქონე წრეწირზე. ამიტომ ავაგოთ ეს წრეწირი, მასზე [math]E[/math] წერტილი და მისი ცვლილებით მივიღოთ სხვადასხვა [math]X[/math] წერტილი. დავაკვირდეთ მის ტრაექტორიას.

სავარაუდოდ [math]X[/math] წერტილის ტრაექტორია არის წრეწირი. შევეცადოთ ამ ჰიპოთეზის დასაბუთებას.

ვაჩვენოთ, რომ [math]\frac{XE}{EC}[/math] შეფარდება მუდმივი სიდიდეა. ამის შემდეგ შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ [math]X[/math] წერტილი მიიღება [math]E[/math] წერტილისგან ჰომოთეტიით, რომლის ცენტრია [math]C[/math].